A soma dos algarismos...

por 2k3d Dom 28 Abr 2013, 12:59

A soma dos algarismos da raiz quadrada do número N = $\underset{2012\text{vezes}}{\underbrace{111...111}}\underset{2013\text{vezes}}{\underbrace{222...222}}5$ é igual a :

a) 6037
b) 6038
c) 6039
d) 6040
e) 6041

RESPOSTA : E

por **Robson Jr.** Dom 28 Abr 2013, 17:02

Escrevendo N como soma de potências:

$\small \\ N=5+2(10^1+10^2+...+10^{2013})+1(10^{2013+1}+10^{2013+2}+...+10^{2013+2012}) \\ N=5+2(10^1+10^2+...+10^{2013})+(10^{2014}+10^{2015}+...+10^{4025})$

Usando soma de PG:

$\small N=5+2.\frac{10^{2014}-10}{9}+\frac{10^{4026}-10^{2014}}{9} =\frac{45+10^{2014}-10+10^{4026}}{9} \\\\ \Rightarrow \ N=\frac{10^{4026}+2.5.10^{2013}+25}{9}=\left ( \frac{10^{2013}+5}{3} \right )^2 \\\\ \Rightarrow \sqrt{N}=\frac{10^{2013}+5}{3}$

Agora basta proceder de modo inverso e escrever a raíz de N como uma soma de potências de 10.

$\small \\ \sqrt{N}=\frac{10^{2013}-10}{3}+5=3.\frac{10^{2013}-10}{9}+5=3(10+10^2+...+10^{2012})+5=\underset{2012 \text{vezes}}{\underbrace{33...33}}5$

Finalmente:

$\small S(alg)=3.2012+5=6041$

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