Polinômios. UEFS 2013.1

O polinômio p(x) = x³ + rx² - sx - t, no qual r, s e t são constantes estritamente positivas, tem uma raiz dupla e é divisível por q(x) = x + 2.
Nessa condições, é correto afirmar que
A) 1 < r < 3
b)r > 3
c) s > 12
d) 0 < t < 4
e) 4< t < 16

Socorro! ;/ (ps: sei todas (ou quase todas) regras de polinômios e não consigo achar a solução!) Obrigado, desde de já!

1) Dados:

a) P(x) = x³ + rx² - sx - t

b) r, s e t ∈ ℝ+

c) P(x) tem uma raiz dupla e é divisível por q(x) = x + 2


2) Pede-se:

Proposição verdadeira dentre:

A) 1 < r < 3
B) r > 3
C) s > 12
D) 0 < t < 4
E) 4< t < 16

3) Sabendo-se:

a) Teorema Fundamental da Álgebra (d'Alembert-Gauss):

Seja um polinômio qualquer de grau "n"

P_n(x) ≡ a_nx + ... a₂x² + a₁x + a₀

Onde:

k ∈ {1; 2; 3; ...n} ∧ ( x ∈ ℂ )∧ ( a_k  ∈ ℂ ) ∧ ( a_n ≠ 0 )

Então:

P_n(x) = a_n(x -r₁)(x -r₂)(x -r₃) ... (x -r_n)

Onde:

r_k é a raiz k-ésima ou o k-ésimo zero do polinômio e

r_k ∈ ℂ | P(r_k) = 0  e

r_k pode ser igual a qualquer outra r_j  ( múltiplas raízes iguais ) e

Se

r_k ∉ ℝ ⇒ r_k = (a + bi) ∧  ∃  r_k+1 = (a - bi) (raízes não reais sempre acorrem aos pares: complexo e seu conjugado)

b) Divisão de Polinômios ou Relações de Viète-Girard


4) Tem-se:

a) Resolução por Divisão de Polinômios, Método de Descartes (coeficientes a determinar)

De "tem uma raiz dupla e é divisível por q(x) = x + 2"

Duas hipóteses:

1ª Hipótese: P(x) = (x + 2)(x + 2)(x - β)

x³ + rx² - sx - t = (x + 2)²(x - β)

x³ + rx² - sx - t = (x² + 4x + 4)(x - β)

x³ + rx² - sx - t = x³ + (4x² - βx²) + (4x - 4βx) - 4β

1x³ + rx² - sx - t = 1x³ + (4 - β)x² + (4 - 4β)x +  (-4β)

Logo:

r = 4 - β 

s = 4β - 4

t =  4β


2ª Hipótese: P(x) = (x + 2)(x - β)(x - β)

x³ + rx² - sx - t = (x + 2)(x - β)²

x³ + rx² - sx - t = (x + 2)(x² - 2βx + β²)²

x³ + rx² - sx - t = x³ - 2βx² + β²x + 2x² - 4βx + 2β²

x³ + rx² - sx - t = x³ + (2 - 2β)x²  + (β²  - 4β)x + 2β²

Logo:

r = 2 - 2β

s = 4β - β² 

t = -2β² --->

Absurdo, contradição, pois (t) é POSITIVO e (-2β²) é sempre negativo !

Então a 2ª Hipótese é refutada, restando somente a 1ª.


b) Resolução com as Relações de Viète-Girard:

Duas hipóteses:

1ª Hipótese: P(x) = (x + 2)(x + 2)(x - β)

P(x) = x³ + rx² - sx - t = (x + 2)(x + 2)(x - β)

ao = -t
a1 = -s
a2 = r
a3 = 1

Raízes: {-2; -2; β}

(i) - a2/a3 = -r/1 = -r = -2 + (-2) + β ⇒ r = 4 - β

(ii)   a1/a3 = (-s)/1 = -s = -2β + (-2β) + (-2)(-2) ⇒ s = 4β - 4

(iii) - ao/a3 = -(-t)/1 = t = (-2)(-2)(β) ⇒ t = 4β


2ª Hipótese: P(x) = (x + 2)(x - β)(x - β)

P(x) = x³ + rx² - sx - t = (x + 2)(x - β)²

ao = -t
a1 = -s
a2 = r
a3 = 1

Raízes: {-2; β; β}

(i) - a2/a3 = -r/1 = -r = -2 + β+ β ⇒ r = 2 - 2β

(ii)   a1/a3 = (-s)/1 = -s = -2β + (-2β) +  (β.β) ⇒ s = β² - 4β

(iii) - ao/a3 = -(-t)/1 = t = (-2)(β)(β) ⇒ t = -2β² -->

Absurdo, contradição, pois (t) é POSITIVO e (-2β²) é sempre negativo !

Então a 2ª Hipótese é refutada, restando somente a 1ª.



c) Por qualquer dos dois métodos, chegamos a:

r = 4 - β 

s = 4β - 4

t =  4β

O que resulta em:

t > 0 ⇒ 4β > 0 ⇒ β > 0

e...

s > 0 ⇒ 4β - 4 > 0 ⇒ β > 1

e...

r > 0 ⇒ 4 -β > 0 ⇒ β < 4

As interseções dos intervalos é o intervalo:

 1 < β < 4

Finalmente:

r = 4 - β   ⇒ β = 4 - r ⇒ 1< 4 - r < 4 ⇒ -3 < - r < 0 ⇒ 0 < r < 3

s = 4β - 4 ⇒ β = (s + 4)/4 ⇒ 1< (s + 4)/4 < 4 ⇒ 4 < (s + 4) < 16 ⇒ 0 < s < 12

t =  4β ⇒ β = t/4 ⇒ 1< t/4 < 4 ⇒ 4 < t < 16

Alternativa "E".

Que resolução magistral! Muito obrigado, mesmo! Esta questão é bem difícil e trabalhosa, acho um absurdo colocar uma dessas em uma prova de primeira fase.