trigonometria

por digoferrari1995@gmail.com Qua 03 Abr 2013, 18:30

sen³x + cos³x = 1

(senx + cosx)*(sen²x - senx.cosx + cos²x) = 1

(senx + cosx)*(1 - senx.cosx) = 1 ----> Eleve ao quadrado e simpliqfique. Vc chegará a:

sen²x*(1 - sen²x) = 0 ----> Duas soluções:

a) sen²x = 0 ----> x = k*pi

b) 1 - sen²x = 0 ----> sen²x = 1 ----> senx = 1 (x = pi/2) ou senx = - 1 (x = 3*pi/2) ----> x = k*pi + pi/2
Fonte:http://www.ajudamatematica.com/viewtopic.php?f=109&t=1417

Fiquei em dúvida na parte em vermelho.
Como simplificar até sen²x*(1 - sen²x) = 0?

por **Euclides** Qua 03 Abr 2013, 20:38

Prosseguindo daquele ponto

$\\(senx+cosx)^2(1-senxcosx)^2=1\\(1+2senx.cosx)(1-senx.cosx)^2=1\\\\(1+2y)(1-y)^2=1\\(1+2y)(1+y^2-2y)=1\\1-3y^2+2y^3=1\\-3y^2+2y^3=0\\y^2(2y-3)=0$

como elevamos ao quadrado, cada solução encontrada deve ser testada

$\\y^2=0\;\;\to\;\;senx.cosx=0\\\\senx=0\;\to\;x=0+2k\pi\;\;(ok)\;\;ou\;\;x=\pi+2k\pi\;\;(\text{nao serve})\\\\cosx=0\;\to\;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\;\;(ok)\;\;ou\;\;x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi\;\;(\text{nao serve})$

$\\2y-3=0\;\;\;\to\;\;\;senx.cosx=\frac{3}{2}\;\;\;\;\text{(nao tem solucao real)}$

As soluções serão, portanto

$x=0+2k\pi\;\;\;ou\;\;\;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$

o que pode ser verificado pelo exame do gráfico

trigonometria A_sen_cos

por digoferrari1995@gmail.com Qua 03 Abr 2013, 23:44

Por que duas das respostas não servem?
E o certo não seria x=kpi e x=pi/2+kpi

por **Euclides** Qui 04 Abr 2013, 00:00

Eu separei as soluções assim para poder testar cada uma. Testar é substituir na equação original. Se a igualdade não se confirma a solução não é válida.

Substitua pi e 3pi/2 e verá que não servem.