Demonstrar Identidade

por pedroberni Seg 04 Mar 2013, 16:51

$\sqrt{1 + (x\sqrt{1 + y^{2}} + y\sqrt{1 + x^{2}})^{2}}\; - \sqrt{1 + (x\sqrt{1 + y^{2}} - y\sqrt{1 + x^{2}})^{2}} \equiv 2xy$

Não ta saindo, to tentando usar as fórmulas de radical duplo, mas ta muito trabalhoso.

por Feehs Seg 04 Mar 2013, 19:32

Fazendo k = x√(1 + y²) e w = y√(1 + x²)

=> √(1 + (k +w)²) - √(1 + ( k - w)²) = 2xy => √(1 + (k +w)²)= 2xy + √(1 + ( k - w)²) , elevando ao quadrado e "ajeitando" a expressão , vem =>

kw ≡ (xy)²- xy√(1 + ( k -w)²) => kw - (xy)² = xy√(1 + ( k -w)²) ,elevando ao quadrado e "ajeitando" a expressão => (kw)² + (xy)^4 = (xy)² + (xy)²*k² + w²*(xy)² , dividindo ambos os membros da equação por (xy)² =>

(kw)²/(xy)² + (xy)² = k² + w² + 1 . A partir daqui basta substituir k e w na expressão, que você conseguira provar a identidade !

por pedroberni Ter 05 Mar 2013, 23:00

Cara, brigadão, perdi um tempão nessa =)

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