achar a PG

por Mayara Corrêa Sáb 02 Mar 2013, 19:20

Qual a PG crescente de 5 termos cuja soma é 121/3 e o produto é 243, sendo a razão um numero racional?

R: (1/3 , 1, 3, 9, 27.)

por **LPavaNNN** Sáb 02 Mar 2013, 20:33

$\\S_n=\frac{a_n.q-a_1}{q-1}\\S_n=\frac{a_1.q^5-a_1}{q-1}\\S_n=\frac{a_1(q^5-1)}{q-1}=\frac{121}{3}\\P_n=a_1^n.q^\frac{n(n-1)}{2}=243\\a_1^5.q^{10}=243\\a_1^5=\frac{243}{q^{10}}\\a_1=\frac{3}{q^2}$

substituindo na soma:

$\frac{3}{q^2}(\frac{q^5-1}{q-1})=\frac{121}{3}\\\frac{q^5-1}{q^3-q^2}=\frac{121}{9}\\9q^5-9=121q^3-121q^2\\9q^5-121q^3+121q^2-9=0\\q=3$

$a_1=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

por Mairacarvalho16 Seg 13 Fev 2017, 18:53

Lucas, como você achou q?

por **Elcioschin** Seg 13 Fev 2017, 19:38

Ele usou o Teorema das Raízes racionais:

Divisores do termo independente: ± 1, 3, 9
Divisores do termo de maior grau: ± 1, 3, 9

Possíveis raízes racionais: ± 1/9, 1/3, 1, 3, 9

Basta testar e ver qual delas atende

por Mairacarvalho16 Seg 13 Fev 2017, 19:53

Entendi. Não conhecia o teorema. Obrigada!

por **Euclides** Seg 13 Fev 2017, 20:14

Tem como evitar a equação de quinto grau:

$\\a_1\times a_1q\times a_1q^2\times a_1q^3\times a_1q^4=3^5\\\\\text{o produto de uma PG \'e m\'ultiplo da sua raz\~ao, se q=3 (primeiro teste)}\\\\a_1+ 3a_1+ 9a_1+ 27a_1+ 81a_1=\frac{121}{3}\to\;a_1(1+3+9+27+81)=243\\\\a_1\times121=\frac{121}{3} \;\;\;\Rightarrow \;\;\;a_1=\frac{1}{3}$

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