Hungria(1897)

Mostre que para qualquer inteiro positivo n, a expressão 2903^n - 803^n - 464^n + 261^n é sempre divisível por 1897.
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olá Dinheirow, essa questão é bem legal ,pois você tem que perceber que 1897 é divisível por 7 , sendo divisível por 7 , qualquer numero que é divisível por 1897 é sempre divisível por 7 .
vamos fazer por congruência, observe :

Ele quer que o numero : 2903^n - 803^n -464^n +261^n seja divisível por 1897,
como disse acima :"qualquer numero que é divisível por 1897 é sempre divisível por 7"

temos então que : 2903^n - 803^n -464^n +261^n é divisível por 7 , vamos ver por parte observe:

(2903)≡5(mod 7) , temos que em congruencia que a^n≡b^n(mod c)
(2903)²≡5²(mod 7)
(2903)³≡5³(mod 7)
.................
(2903)ⁿ≡5ⁿ(mod 7)

agora vamos ver o 803:
(803)≡5(mod 7)
(803)²≡5²(mod 7)
(803)³≡5³(mod 7)
...................
(803)ⁿ≡5ⁿ(mod 7)

agora vamos ver o 464:
(464)≡2(mod 7)
(464)²≡2²(mod 7)
(464)³≡2³(mod 7)
..................
(464)ⁿ≡2ⁿ(mod 7)

agora vamos ver o 261:
(261)≡2(mod 7)
(261)²≡2²(mod 7)
(261)³≡2³(mod 7)
...................
(261)ⁿ≡2ⁿ(mod 7)

Pronto agora so´pensar nos restos ,olhe :

(2903^n - 803^n -464^n +261^n)≡ (5ⁿ - 5ⁿ -2ⁿ +2ⁿ )≡ 0 (mod 7) ≡0(mod 1897)

Pronto, provado!
Espero ter te ajudado ,um abraço!!

Bem legal, mas acho que os restos das duas primeiras parcelas é 5 mod 7.
Agora, basta analisar a divisibilidade por 271
(2903ⁿ - 803ⁿ -464ⁿ +261ⁿ) ≡ 193ⁿ - 261ⁿ + 193ⁿ - 261ⁿ ≡ 0 mod 271
portanto o número é sempre divisível por (7)ⁿ(271)ⁿ = 1897ⁿ

Um tem razão não prestei a atenção pois estava fazendo rápido !
Muito grato!
Editado!

felipesantos,

Você mostrou que o número é divisível por 7. Mas... qualquer número divisível por 7 será divisível por 1897?

Não! esqueci de colocar que não vale a volta!!
Ou seja não é "⇔" ,mas sim "⇒" .Por exemplo: 21 é divisível por 7 mas não dividi 1897.

Então: você mostrou a divisibilidade por 7

(2903^n - 803^n -464^n +261^n)≡ (5ⁿ - 5ⁿ -2ⁿ +2ⁿ )≡ 0 (mod 7)

mas e por 1897?

Vale também eu que não coloquei, perdão falta de atenção!!
Editado!

Bomm dia amigos!
Perdão por estar revivendo o tópico, mas é pq eu não entendi a explicação feita por congruência... teria algum outro modo de fazer essa questão?

E se não tiver, alguém então poderia re-explicar por congruência?

Vlww! 

Bergamotinha OwO escreveu:Bomm dia amigos!
Perdão por estar revivendo o tópico, mas é pq eu não entendi a explicação feita por congruência... teria algum outro modo de fazer essa questão?

E se não tiver, alguém então poderia re-explicar por congruência?

Vlww! 

Usarei duas propriedades elementares da aritmética modular:












Daí, a expressão em (mod7) fica:









Desse modo, concluímos que a expressão deixa resto 0 na divisão por 1897.