IMO (Olimpíada In. de Mate.) - 1959 - Q. 1

por Convidado Qui 14 Fev 2013, 14:06

ORIGINAL;
01. Prove that the fraction $\frac{21n+4}{14n+3}$ is irreducible for every natural number n.

TRADUÇÃO LIVRE;
01. Prove que a fração $\frac{21n+4}{14n+3}$ é irredutível para cada número natural n.

Já agradeço. Só para informar, estou sem o gabarito.

por felipesantos Qui 14 Fev 2013, 15:10

olá raimundoocjr,
suponha primeiro que :
(21n+4)/(14n+3 )= K,
vamos provar por absurdo , que K seja inteiro .

logo vamos manipular um pouco a equaçao acima veja

21n +4=K.(14 n+3) → 21n+4=(K.14n+ K.3) → 21n-K.14n = K.3- 4 ⇒

n= (K.3- 4)/(21-K.14) , assim como ele diz "para cada número natural n"

para n=1; 1 =(K.3- 4)/(21-K.14) → 21-K.14= K.3- 4 → k=25/17 ,

para n=2; 2=(K.3- 4)/(21-K.14) → 42-K.28= K.3- 4 → k=46/31,
logo é impossível que k seja inteito, então K é sempre irredutível para cada n natura l!

valeu espero que entenda
um abraço!

por wstroks Qui 14 Fev 2013, 15:26

felipesantos escreveu:olá raimundoocjr,
suponha primeiro que :
(21n+4)/(14n+3 )= K,
vamos provar por absurdo , que K seja inteiro .

logo vamos manipular um pouco a equaçao acima veja

21n +4=K.(14 n+3) → 21n+4=(K.14n+ K.3) → 21n-K.14n = K.3- 4 ⇒

n= (K.3- 4)/(21-K.14) , assim como ele diz "para cada número natural n"

para n=1; 1 =(K.3- 4)/(21-K.14) → 21-K.14= K.3- 4 → k=25/17 ,

para n=2; 2=(K.3- 4)/(21-K.14) → 42-K.28= K.3- 4 → k=46/31,
logo é impossível que k seja inteito, então K é sempre irredutível para cada n natura l!

valeu espero que entenda
um abraço!

huuhuhuh resolução .. só uma duvida eu poderia provar assim
14n+3≠0
n≠-3/14 >>>> logo 21n+4=0 n=-4/21 daria pra provar assim felipe?

por felipesantos Qui 14 Fev 2013, 16:02

nao , por que neste caso voce esta considerando n como irredutível e
n é natural, se ele nao tivesse dito n natural ainda assim , não estaria certo pois ele quer que a fracão seja irredutível .
sua restrição esta certíssima para n não pertencente aos naturais .
entendeu?!! valeu e um abraço!

por wstroks Qui 14 Fev 2013, 16:08

felipesantos escreveu:nao , por que neste caso voce esta considerando n como irredutível e
n é natural, se ele nao tivesse dito n natural ainda assim , não estaria certo pois ele quer que a fracão seja irredutível .
sua restrição esta certíssima para n não pertencente aos naturais .
entendeu?!! valeu e um abraço!

hum... entendi Very Happy

por **JoaoGabriel** Qui 14 Fev 2013, 16:56

Não seria uma boa tentar por indução finita?

por felipesantos Qui 14 Fev 2013, 17:03

é uma boa observação, vou tentar fazer isso por induçao!

por Luck Qui 14 Fev 2013, 18:10

A partir da resolução do felipe, ao invés de analisar valores ou fazer indução, vc pode concluir assim:
n = (3K - 4)/(21 -14K)
como n é natural, 3K - 4 > 0 , k > 4/3
^ 21 - 14K > 0 , k < 21/14
4/3 < k < 21/14
1,333.. < k < 1,5 o que é absurdo pois k é inteiro.
v
3k- 4 < 0 , k < 4/3 ^ 21 - 14k < 0 , k > 21/14
21/14 < k < 4/3
1,5 < k < 1,33.. absurdo!

por **mauk03** Qui 14 Fev 2013, 22:27

Outra forma de se resolver questões desse tipo é usando o Algoritmo de Euclides, de onde sabe-se que "O MDC não muda se o menor número for subtraído ao maior", ou seja:
mdc(a, b) = mdc(a - b, b)

Na questão devemos provar que o numerador e o denominador da fração são primos entre si, ou seja:
$\mathrm{mdc}(21n+4, 14n+3)=1$
$\mathrm{mdc}(21n+4-(14n+3), 14n+3)=1$
$\mathrm{mdc}(7n+1, 14n+3)=1$
$\mathrm{mdc}(7n+1, 14n+3-2(7n+1))=1$
$\mathrm{mdc}(7n+1, 1)=1$

por **parofi** Sex 15 Fev 2013, 20:40

Olá:
A resolução do mauk03 parece-me totalmente correta.
As tentativas do Filipe e do Luck padecem de um erro. se (21n+4)/(14n+3) não for irredutível isso não significa que k=(21n+4)/(14n+3) seja um nº inteiro. Por exemplo, 15/6 não é irredutível: 15/6=5/2, que não é inteiro (é um racional):
Um abraço