Posição de um número em relação às raízes

Considere a função quadrática definida por:
f(x) = (3a-2)x² + 2ax + 3a

Determine a para que a equação f(x)=0 admita uma raiz e uma só "entre" -1 e 0.

Se uma função do segundo grau tem uma única raiz, então apenas o seu vérice toca o eixo horizontal. Esse ponto é



dá prá resolver a inequação?

Boa noite Euclides. Então... O que eu tirei de conclusão do enunciado foi que pode haver apenas uma das raizes entre -1 e 0, sem ser ela de paridade par.
Dai seria mais ou menos uma ilustração do primeiro caso, mas podendo comporta-se como no segundo dependendo do valor atribuido a a

https://2img.net/r/ihimg/photo/my-images/23/funcao.png/

gusttavon,

uma função do segundo grau é uma parábola. Quando esse tipo de função tem uma só raiz, essa raiz está no vértice que toca o eixo, como mostrado abaixo



a posição do vértice de uma parábola f(x)=ax²+bx+c é dada por x=-b/2a e, portanto basta impor que 0 < x < -1

Desculpe não ter postado o gabarito antes, pois não o estava achando.

O gabarito traz a resposta 0 < a < 1/2 , mas não estou chegando nela a partir da inequação que o senhor propôs.

Poderia apresentar a resolução completa por favor? Obrigado!

Luck escreveu:lá Euclides e gusttavon, eu concordo com a interpretação do gusttavon, quando o enunciado diz 'admita uma raiz e uma só "entre" -1 e 0' eu acredito que quer dizer que tem 2 raízes sendo uma sobre essa condição ( entre -1 e 0) e nao apenas uma como foi a resolução do Euclides.

Tá certo. É isso mesmo, eu estou meio dormindo.

Está dando erro na hora de postar ,algumas mensagens estão sumindo vou tentar repostar:

Olá Euclides e gusttavon, eu concordo com a interpretação do gusttavon,
quando o enunciado diz 'admita uma raiz e uma só "entre" -1 e 0' eu
acredito que quer dizer que tem 2 raízes sendo uma sobre essa condição (
entre -1 e 0) e nao apenas uma como foi a resolução do Euclides. Acho
que se fosse do jeito que o Euclides interpretou o enunciado diria "
admita que existe apenas uma raíz(...) " aí a resolução estaria certa.


Como no seu desenho vc tem de dividir em 2 casos:
-1 < x1 < 0 < x2 :
-1 < x1 < x2 (I)  e  x1 < 0 < x2 (II)

resolvendo (I):
para garantir que -1 esteja à esquerda das raízes, a.f(-1) > 0, ∆ > 0 e -1 < Xv

a.f(-1) > 0
(3a-2)( 3a-2 -2a + 3a ) > 0
(3a-2)(4a-2) > 0
a < 1/2 ou a > 2/3 (1)

∆ > 0 :
4a² - 4(3a-2)3a > 0

0 < a < 3/4 (2)

-1< Xv
-2a/(3a-2) > -1
(a-2)/ (3a-2) > 0
a< 2/3 ou a>2 (3)

fazendo interseção de (1), (2) e (3) : 0 < a < 1/2

resolvendo (II)
x1 < 0 < x2 , para que 0 esteja entre as raízes basta que af(0) < 0
(3a-2)3a < 0
0 < a < 2/3

(I) ∩ (II):   0 < a < 1/2