Olimpiada norte americana__Uso de calculo!

por thiago ro Sáb 26 Jan 2013, 13:21

A charged particle with charge q and mass m starts with an initial kinetic energy K at the
middle of a uniformly charged spherical region of total charge Q and radius R. q and Q have
opposite signs. The spherically charged region is not free to move.
(a) Find the value of K0 such that the particle will just reach the boundary of the spherically
charged region.
(b) How much time does it take for the particle to reach the boundary of the region if it
starts with the kinetic energy K0 found in part (a)?

Spoiler:

por **Robson Jr.** Ter 29 Jan 2013, 18:05

Esquema:

Spoiler:

Para não usar sinais de menos antes das cargas, trabalharei com módulos.

a)

Densidade de cargas da região esférica de raio R:

$\small \rho =\frac{|Q|}{\frac{4}{3}\pi R^3}$

Carga interior à esfera de raio x:

$\small Q'=\frac{4}{3}\pi x^3\frac{|Q|}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{x^3|Q|}{R^3}$

Seja uma superficíe Gaussiana esférica de raio x e concêntrica à região. Módulo do campo elétrico sobre a partícula:

$\small E.4\pi x^2=\frac{\frac{x^3|Q|}{R^3}}{\varepsilon _0} \Rightarrow E=\frac{x|Q|}{4\pi \varepsilon_0R^3}$

Força de atração sobre a partícula:

$\small F=\frac{x|q||Q|}{4\pi \varepsilon_0R^3}$

Trabalho da força elétrica no deslocamento do centro até a extremidade da região:

$\small W=\int_{0}^{R} \frac{|q||Q|x}{4\pi \varepsilon_0R^3}dx=\frac{|q||Q|}{8\pi \varepsilon_0R}$

Para que a partícula não passe de R, toda sua energia cinética deve ser retirada pela força elétrica:

$\small \boxed{K_0=\frac{|q||Q|}{8\pi \varepsilon_0R}}$

b)

Observe a expressão da força resultante sobre a partícula:

$\small F=\underset{k}{\underbrace{\frac{|q||Q|}{4\pi \varepsilon_0R^3}}}.x \rightarrow MHS$

Frequência angular do MHS:

$\small m\omega^2=\frac{|q||Q|}{4\pi \varepsilon_0R^3} \Rightarrow \omega =\sqrt{\frac{|q||Q|}{4\pi \varepsilon_0R^3m}}$

Período do MHS:

$\small \frac{2\pi}{T} =\sqrt{\frac{|q||Q|}{4\pi \varepsilon_0R^3m}} \Rightarrow T=2\pi \sqrt{\frac{4\pi \varepsilon_0R^3m}{|q||Q|}}$

É resultado conhecido que a velocidade do corpo se anula T/4 após o início do MHS. Logo, o tempo procurado vale:

$\small t=\frac{T}{4} \Rightarrow \boxed{t=\frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{4\pi \varepsilon_0R^3m}{|q||Q|}}}$