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[P.G] 33
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[P.G] 33
por lnd_rj1 Sex 25 Jan 2013, 15:38
Determine quatro números em P.G, sendo a soma dos extremos 140 e a soma dos meios 60.
lnd_rj1- Mestre Jedi
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Re: [P.G] 33
por Matheus Bertolino Sex 25 Jan 2013, 16:17
a + aq³ = 140
a(1 + q³) = 140
a(1 + q)(1 - q + q²) = 140
1 + q = 140/a(1 - q + q²)
aq + aq² = 60
aq(1 + q) = 60
aq*140/a(1 - q + q²) = 60
140q = 60(1 - q + q²)
140q = 60 - 60q + 60q²
60q² - 200q + 60 = 0
3q² - 10q + 3 = 0
delta = 100 - 36 = 64
q' = (10 + 8 )/6 = 3
q" = (10 - 8 )/6 = 1/3
a'q(1 + q) = 60
12a' = 60
a' = 5
a"q(1 + q) = 60
4a" = 9*60
a" = 135
Logo, temos como solução as sequências 5, 15, 45, 135 e 135, 45, 15, 5.
a(1 + q³) = 140
a(1 + q)(1 - q + q²) = 140
1 + q = 140/a(1 - q + q²)
aq + aq² = 60
aq(1 + q) = 60
aq*140/a(1 - q + q²) = 60
140q = 60(1 - q + q²)
140q = 60 - 60q + 60q²
60q² - 200q + 60 = 0
3q² - 10q + 3 = 0
delta = 100 - 36 = 64
q' = (10 + 8 )/6 = 3
q" = (10 - 8 )/6 = 1/3
a'q(1 + q) = 60
12a' = 60
a' = 5
a"q(1 + q) = 60
4a" = 9*60
a" = 135
Logo, temos como solução as sequências 5, 15, 45, 135 e 135, 45, 15, 5.
Matheus Bertolino- Fera
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Re: [P.G] 33
por Igor Bragaia Sex 25 Jan 2013, 16:36
PG={x/q, x, xq, xq²}
x(1/q+q²)=140 ⇒ x=140/[(1+q³)/q]
x(1+q)=60
x=60/(1+q)
140/[(1+q³)/q]=60/(1+q)
14q/(1+q³)=6/(1+q)
6q³-14q²-14q+6=0 ⇒ Percebe-se que -1 é raiz
Abaixando o grau por briott-ruffini:
6q³-14q²-14q+6=0 ⇒ (q+1)(6q²-20q+6)=0
Resolvendo o polinômio ⇒ q=-1 ou q=3 ou q=1/3
q=-1 ⇒ PG={-x, x, -x, x} ⇒ impossível
q= 3 ⇒ PG'={x/3, x, 3x, 9x} ⇒ possível
q=1/3 ⇒ PG"={3x, x, x/3, x/9} ⇒ possível
Calculando:
PG' ⇒ q=3 ⇒ x+xq=4x=60 ⇒ x=15
PG" ⇒ q=1/3 ⇒ x+x/3=60 ⇒ x=45
∴ PG' ⇒ 15/3, 15, 15.3, 15.9 ⇒ 5, 15, 45, 135
PG" ⇒ 45.3, 45, 45/3, 45/9 ⇒ 135, 45, 15, 5
x(1/q+q²)=140 ⇒ x=140/[(1+q³)/q]
x(1+q)=60
x=60/(1+q)
140/[(1+q³)/q]=60/(1+q)
14q/(1+q³)=6/(1+q)
6q³-14q²-14q+6=0 ⇒ Percebe-se que -1 é raiz
Abaixando o grau por briott-ruffini:
6q³-14q²-14q+6=0 ⇒ (q+1)(6q²-20q+6)=0
Resolvendo o polinômio ⇒ q=-1 ou q=3 ou q=1/3
q=-1 ⇒ PG={-x, x, -x, x} ⇒ impossível
q= 3 ⇒ PG'={x/3, x, 3x, 9x} ⇒ possível
q=1/3 ⇒ PG"={3x, x, x/3, x/9} ⇒ possível
Calculando:
PG' ⇒ q=3 ⇒ x+xq=4x=60 ⇒ x=15
PG" ⇒ q=1/3 ⇒ x+x/3=60 ⇒ x=45
∴ PG' ⇒ 15/3, 15, 15.3, 15.9 ⇒ 5, 15, 45, 135
PG" ⇒ 45.3, 45, 45/3, 45/9 ⇒ 135, 45, 15, 5
Última edição por Igor Bragaia em Sex 25 Jan 2013, 17:00, editado 4 vez(es)
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Re: [P.G] 33
por lnd_rj1 Sex 25 Jan 2013, 16:39
A do Matheus bartolino esta certa. Só não entendi essa parte na resolução do matheus:
Não entendi essa parte:
a'q(1 + q) = 60
12a' = 60
a' = 5
a"q(1 + q) = 60
4a" = 9*60
a" = 135
Não entendi essa parte:
a'q(1 + q) = 60
12a' = 60
a' = 5
a"q(1 + q) = 60
4a" = 9*60
a" = 135
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Re: [P.G] 33
por Elcioschin Sex 25 Jan 2013, 16:57
O Matheus substituiu os dois valores de de q (q' = 3 e q" = 1/3) na equação aq(1 + q) = 60 para encontrar os dois valores de a
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Re: [P.G] 33
por Igor Bragaia Sex 25 Jan 2013, 16:58
Ind_rj1 havia confundido os números no gran finale, mas meu processo está correto (Já corrigi o finalzinho).
Minha resolução está um pouco diferente da resolução do Matheus, que não gerou equação de 3º grau. (estava digitando quando ele postou)
Minha resolução está um pouco diferente da resolução do Matheus, que não gerou equação de 3º grau. (estava digitando quando ele postou)
Igor Bragaia- Jedi
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