Combinatória

Quando duas amebas vermelhas se juntam, se transformam em uma única ameba azul; quando uma ameba
vermelha se junta com uma ameba azul, as duas se transformam em três amebas vermelhas; quando duas
amebas azuis se juntam, elas se transformam em quatro amebas vermelhas. Um tubo de ensaio tem
inicialmente a amebas azuis e v amebas vermelhas.
Determine, em função de a e v, todas as quantidades de amebas possíveis no tubo de ensaio e, para cada
quantidade de amebas, as possibilidades de quantidades de amebas de cada cor

Edson, você possui o gabarito?

Obs.: Cara, são amebas ou personagens do Dragon Ball? :scratch:

Amegeta + Gomeba = Gogeta \o/

Infelizmente não . Essa questão é da OBM 3ª fase nível 3 e ainda não disponibilizaram o gabarito.
Pensei o mesmo sobre as amebas . kkk

Eles nunca disponibilizam os gabaritos.
Mas é fácil achar no google uma solução

Essa questão foi da 3ª fase da OBM, Nível 3, ano 2.012.

Vou procurar nas Eurekas pra ver se acho a solução.

Se quiserem ver a prova toda, esta se encontra abaixo:

http://www.obm.org.br/export/sites/default/provas_gabaritos/docs/2012/3fase_nivel3_2012.pdf

Já procurei em toda a última Eureka e não achei a solução, mas, pela cara, parece ser um problema de Invariantes.

Eu estava pensando em resolver por probabilidade especificamente pela
regra de bayes

Vou tentar fazer minha própria solução...
Já encontrei várias invariantes e estou analisando todos os casos possíveis de paridade de amebas e de transformações.
Amanhã, se ninguém tiver feito uma solução ainda, eu tento terminar a minha.

Voltei aqui só para não criar outro tópico sobre a mesma questão.
Eu estava tentando resolver algumas questões da 2ª e 3ª fases da OBM e me deparei, novamente, com esse problema das amebas, que, como já foi dito, foi proposto na 3ª fase-Nível 3 da OBM do ano passado.
Não posso dizer que resolvi, mas consegui desenvolver um pouco e tirar algumas conclusões.

Vou expor o que eu fiz até agora aqui nessa mensagem.

Tentativa de resolução:

Vou, primeiro, dar nome às transformações possíveis.

Transformação 1 (1) : Ameba vermelha + Ameba vermelha = Ameba azul;
Transformação 2 (2): Ameba vermelha + Ameba azul = três amebas vermelhas;
Transformação 3 (3): Ameba azul + Ameba azul = quatro amebas vermelhas.

Agora, vou fazer (1) 'n' vezes , (2) 'p' vezes e (3) 'k' vezes, separadamente (usando, obviamente, a definição de cada transformação).
Obs: Usarei parênteses para separar o grupo de amebas azuis do grupo de amebas vermelhas.

Transformação 1:

1 x (1): Q = (a +1) + (v - 2) = a + v - 1
Obs: A notação acima indica que se tem (a + 1) amebas azuis e (v - 2) amebas vermelhas, formando um total de (a + v - 1) amebas.

2 x (1): Q = (a + 2) + (v - 4) = a + v - 2

3 x (1): Q = (a + 3) + (v - 6) = a + v - 3

...

n x (1): Q = (a + n) + (v - 2.n) = a + v - n

Ou seja, no final das 'n' transformações do tipo (1) ter-se-á (a + n) amebas azuis e
(v - 2.n) amebas vermelhas, formando, assim, um total de (a + v - n) amebas.

Transformação 2:

1 x (2): Q' = (a - 1) + (v - 1 + 3) = (a - 1) + (v + 2) = a + v + 1

2 x (2): Q' = (a - 2) + (v - 2 + 6) = (a - 2) + (v + 4) = a + v + 2

3 x (2): Q' = (a - 3) + (v - 3 + 9) = (a - 3) + (v + 6) = a + v + 3

...

p x (2): Q' = (a - p) + (v - p + 3.p) = (a - p) + (v + 2.p) = a + v + p

Ou seja, no final das 'p' transformações do tipo (2) ter-se-á (a - p) amebas azuis e (v + 2.p) amebas vermelhas, totalizando, assim, (a + v + p) amebas.

Transformação 3:

1 x (3): Q'' = (a - 2) + (v + 4) = a + v + 2

2 x (3): Q'' = (a - 4) + (v + 8 ) = a + v + 4

3 x (3): Q'' = (a - 6) + (v + 12) = a + v + 6

...

k x (3): Q'' = (a - 2.k) + (v + 4.k) = a + v + 2.k

Ou seja, no final das 'k' transformações do tipo (3) ter-se-á (a - 2.k) amebas azuis e (v + 4.k) amebas vermelhas, totalizando, assim,
(a + v + 2.k) amebas.

Agora, estudarei as transformações em conjunto.
É claro que todos as transformações são equiprováveis quando as amebas estão dentro da proveta, então, genericamente, adotemos que houve primeiro 'n' transformações do tipo (1), depois 'p' transformações do tipo (2) e, por último, 'k' transformações do tipo (3) e denotarei a quantidade final por Q(npk) (a ordem não importa, pois:
Q(npk) = Q(nkp) = Q(pnk) = Q(pkn) = Q(knp) = Q(kpn). Se quiser, pode tentar, assim como eu tentei, e verá a veracidade disso).

Desenvolvamos, então, Q(npk).

Ao final das 'n' transformações do tipo (1), ter-se-á (como já foi mostrado):
Q(n) = (a + n) + (v - 2.n)

Em seguida, após 'p' transformações do tipo (2), ter-se-á (da fórmula para esse tipo de transformação demonstrada anteriormente):
Q(np) = (a + n - p) + (v - 2.n + 2.p)

E, finalmente, após 'k' transformações do tipo (3), ter-se-á (da fórmula para esse tipo de transformação demonstrada anteriormente):
Q(npk) = (a + n - p - 2.k) + (v - 2.n + 2.p + 4.k) = (a + v) + (2.k + p - n)

Ou seja, (a + n - p - 2.k) amebas azuis, (v - 2.n + 2.p + 4.k) amebas vermelhas, totalizando, assim, (a + v) + (2.k + p - n)
amebas.

Sendo 'n' o número de transformações do tipo (1), 'p' o número de transformações do tipo (2) e 'k' o número de transformações do tipo (3).


Pode-se, ainda, destacar que se (2.k + p) > n, então o número de ambas na proveta aumenta, se (2.k + p) < n, então o número de amebas na proveta diminui e se (2.k + p) = n, então o número de amebas dentro da proveta permanece inalterável.

Pode-se observar, também, que 'n', 'p' e 'k' dependem das amebas de cada tipo.
Eu posso colocar aqui, por exemplo, algumas relações óbvias de dependência entre 'n', 'p' e 'k' e 'a' e 'v'.

1) v= 0 => não exitem transformações do tipo (1) e nem do tipo (2), consequentemente não existem 'n' nem 'p', ou seja:
n = 0 e p = 0.

2) a = 0 => não existem transformações do tipo (2) e nem do tipo ( 3), consequentemente não existem 'p' nem 'k', ou seja:
p = 0 e k = 0.

3) a = 1 => não existem transformações do tipo (3), consequentemente não existe 'k', ou seja:
k = 0.

4) v = 1 => não existem transformações do tipo (1), consequentemente não existe 'n', ou seja:
n = 0.


Espero não ter "viajado".