[Dúvida] Fatoração da solução

Eu estava resolvendo as seguintes equações :
Obtenha x de modo que :
a) senx = cos2x
b) cosx = cos2x

Depois de resolver eu fui consultar o gabarito e todas as respostas diferem de algum modo das fornecidas no gabarito. Eu verifiquei no Wolfram e confirmei que minhas soluções estão corretas. Então creio que o gabarito do livro não esteja errado 2x seguidas, imagino que o autor fatorou as respostas de algum modo , gostaria de saber como chegar a essas respostas.

Minhas soluções :
a)x = 3pi/2 + 2kpi
x = pi/6 + 2kpi
x= 5pi/6 + 2kpi

b) x = +- 2pi/3 + kpi
x = kpi

Gabarito :
a) x = pi/6 + 2kpi/3
b)x = 2kpi/3

a)
senx = cos2x
senx = cos(pi/2 - x)
==> cos(pi/2 -x) = cos2x

pi/2 - x = +-2x + 2kpi

-> pi/2 - x = 2x + 2kpi
3x = pi/2 + 2kpi (pude colocar o sinal positivo em +2kpi porque tanto faz ser positivo ou negativo)
x = pi/6 + 2kpi/3

ou

-> pi/2 - x = -2x + 2kpi
x = -pi/2 + 2kpi

Porém a primeira solução engloba a segunda (basta substituir "k" por "-1" na primeira, portanto a resposta da letra (a) é:
x = pi/6 + 2kpi/3

obs: o livro e o Wolfram estão corretos


b) basta fazer
x = 2x + 2kpi ===> x = 2kpi
e
x = -2x + 2kpi ===> x = 2kpi/3

A segunda engloba a primeira, portanto
x = 2kpi/3

Tanto você como o gabarito estão certos

Você ----> x = 3pi/2 + 2kpi ou x = pi/6 + 2kpi ou x = 5pi/6 + 2kpi

Soluções:

Na 1ª volta (k = 0) -----> x = 3pi/2
Na 2ª volta (k = 1) -----> x = 3pi/2 + 2pi = 7pi/2
Na 3ª volta (k = 2) -----> x = 3pi/2 + 4pi = 11pi/2

Na 1ª volta (k = 0) -----> x = pi/6
Na 2ª volta (k = 1) -----> x = pi/6 + 2pi = 13pi/6
Na 3ª volta (k = 2) -----> x = pi/6 + 4pi = 25pi/6

Na 1ª volta (k = 0) -----> x = 5pi/6
Na 2ª volta (k = 1) -----> x = 5pi/6 + 2pi = 17pi/6
Na 3ª volta (k = 2) -----> x = 5pi/6 + 4pi = 29pi/6


Gabarito ----> x = pi/6 + - 2kpi/3

Soluções:

Na 1ª volta (k = 0) -----> x = 3pi/2
Na 2ª volta (k = 1) -----> x = 3pi/2 + 2pi/3 ----> x = 13pi/6
Na 3ª volta (k = 2) -----> x = 3pi/2 + 4pi/3 ----> x = 17pi/6

Na 1ª volta (k = 0) -----> x = pi/6
Na 2ª volta (k = 1) -----> x = pi/6 + 2pi/3 ----> x = 5pi/6
Na 3ª volta (k = 2) -----> x = pi/6 + 4pi/3 ----> x = 9pi/6

Na 1ª volta (k = 0) -----> x = 5pi/6
Na 2ª volta (k = 1) -----> x = 5pi/6 + 2pi/3 ----> x = 9pi/6
Na 3ª volta (k = 2) -----> x = 5pi/6 + 4pi/3 ----> x = 13pi/6

Veja que o resultado é o memo
Proceda de modo similar para a 2ª questão

Faz sentido, desculpe.
As suas três fórmulas podem ser juntadas em uma, veja como isso pode ser feito pra não errar depois talvez uma multipla-escolha.
Abraço

Muito obrigado , Ramonss e Elcio , as respostas ajudaram muito. De fato Ramon minha preocupação para entender como chegar a essa resposta é pelo fato de ter a possibilidade de me deparar com uma questão de multipla-escolha que contenha essa resposta nas alternativas. Contudo , eu fiquei apenas com um dúvida Ramon, não consegui entender completamente como você fez para concluir qual a solução englobava a outra, se poder me esclarecer esta última dúvida (: .

Uma solução engloba a outra quando, sejam S1 o conjunto solução dela e seja S2 o conjunto solução da outra, S1 contém em S2, isto é, todos os elementos de S1 estão também em S2.

As duas soluções eram:

x = pi/6 + 2kpi/3
e
x = -pi/2 + 2kpi

Primeiro veja que em uma tem "2kpi/3" e em outra tem "2kpi", portanto se uma for englobar a outra, a que engloba será a 2kpi/3 (para cada volta, na primeira, são 3 valores de "k", já na segunda para cada volta existe apenas um k).

Em x = -pi/2 + 2kpi, se k = 0,
x = -pi/2
se na primeira solução qualquer resultado também der -pi/2, uma engloba a outra

Em x = pi/6 + 2kpi/3
Se k = -1,
x = (pi/6) - 2kpi/3
x = (pi - 4pi)/6 = -3pi/6 = -pi/2