Integral Dupla

por **Iago6** Sáb 27 Out 2012, 19:25

Calcule: $\iint \left (\frac{x-y}{x+y} \right ) dA$ , com região delimitada por y = x - a, y = x , x + y = a e x+ y = 3a.

Spoiler:

por **Iago6** Dom 28 Out 2012, 21:01

Consegui aqui galera, por esse caminho (mudança de variável). *_*

$\iint \left (\frac{x-y}{x+y} \right ) dA \\\\\ u =x-y,\; v = x+y \; \Longrightarrow \; T(u,v)= \left\{\begin{matrix} x = u+y & \\ y = v-x& \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \; x = \frac{u+v}{2}, \;y=\frac{v-u}{2} \\\\ J(T)=\begin{vmatrix} \frac{\partial x }{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v} \\\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \frac{1}{2} \\\\\\\ \;\;\;\;\;\;\; |J(T)|.\iint_R_{u,v} \frac{u}{v}\;dA =\frac{1}{2}\int_{a}^{3a}\left [ \int_{0}^{a} \left (\frac{u}{v} \right )du \right ]dv \\\\\\ \frac{1}{2}\int_{a}^{3a}\left (\frac{a^2}{2v} \right )dv =\frac{1}{2}. \frac{a^2}{2}\left [ ln(3a)-ln(a) \right ]= \boxed {\mathrm{\frac{a^2.\;ln(3)}{4}}}$

Espero que ajude quem acompanhou o tópico.

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