Mostre que o número é irracional e racional.
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Mostre que o número é irracional e racional.
por Jordan Rodrigues Qua 03 Out 2012, 15:22
Sendo y = 1:0,1 e x= 2:0,1 , mostre que 
são irracionais, mas que A x B é racional.
Divirta-se quem for fazer!
Gabarito:
A = √2 não pertence ℚ
B = √18 = 3√2 ∈ ℚ
A x B = 6 ∈ ℚ
são irracionais, mas que A x B é racional.Divirta-se quem for fazer!
Gabarito:
A = √2 não pertence ℚ
B = √18 = 3√2 ∈ ℚ
A x B = 6 ∈ ℚ
Jordan Rodrigues- Iniciante
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Re: Mostre que o número é irracional e racional.
por Robson Jr. Qua 03 Out 2012, 15:59
Suponha, por absurdo, que √2 ∈ Q.
=1 "\small \sqrt{2} \in \mathbb{Q} \Rightarrow \sqrt{2}=\frac{m}{n}, \ m,n \in \mathbb{Z} \ | \ mdc(m,n)=1")
Desenvolvendo:
^2=\left ( \frac{m}{n} \right )^2 \Rightarrow m^2=2n^2 \Rightarrow m^2 \text{ é par} \Rightarrow m \text{ é par} \Rightarrow m=2t, \ t \in \mathbb{Z} "\small (\sqrt{2})^2=\left ( \frac{m}{n} \right )^2 \Rightarrow m^2=2n^2 \Rightarrow m^2 \text{ é par} \Rightarrow m \text{ é par} \Rightarrow m=2t, \ t \in \mathbb{Z}")
Substituindo o novo formato de m:
^2=2n^2 \Rightarrow n=2t^2 \Rightarrow n^2 \text{ é par} \Rightarrow n \text{ é par} "\small (2t)^2=2n^2 \Rightarrow n=2t^2 \Rightarrow n^2 \text{ é par} \Rightarrow n \text{ é par}")
 \neq 1 \text{ (Contradição)} "\small \left\{\begin{matrix} m\text{ par}\\ n\text{ par} \end{matrix}\right. \Rightarrow mdc(m,n) \neq 1 \text{ (Contradição)}")
Se a proposição "√2 racional" é falsa, sua negação lógica (√2 não é racional) necessariamente procede.
Por raciocínio análogo, 3√2 também é não-racional.
Finalmente, 3√2 . √2 = 3(√2)² = 3.2 = 6 = 6/1 é racional, pois mdc(6, 1) = 1.
CqD
Desenvolvendo:
Substituindo o novo formato de m:
Se a proposição "√2 racional" é falsa, sua negação lógica (√2 não é racional) necessariamente procede.
Por raciocínio análogo, 3√2 também é não-racional.
Finalmente, 3√2 . √2 = 3(√2)² = 3.2 = 6 = 6/1 é racional, pois mdc(6, 1) = 1.
CqD
Última edição por Robson Jr. em Qua 03 Out 2012, 17:08, editado 1 vez(es)
Robson Jr.- Fera
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Re: Mostre que o número é irracional e racional.
por Jordan Rodrigues Qua 03 Out 2012, 16:51
Robson, que método é esse que você usou? hehe
Achei bastante interessante, a forma que eu fiz foi usar as informações, achar o resultado da fração, substituir na fórmula na qual o problema deu, enfim.
Tu resolveu para achar a raiz de 2? Ou testou com o gabarito ? Abraçs
Achei bastante interessante, a forma que eu fiz foi usar as informações, achar o resultado da fração, substituir na fórmula na qual o problema deu, enfim.
Tu resolveu para achar a raiz de 2? Ou testou com o gabarito ? Abraçs
Jordan Rodrigues- Iniciante
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Re: Mostre que o número é irracional e racional.
por Robson Jr. Qua 03 Out 2012, 17:07
O nome disso é "demonstração por absurdo".
Esse tipo de problema é bem sutil. À princípio é óbvio para qualquer um que √2 é irracional, certo? Aprendemos isso na escola.
Provar o óbvio, contudo, pode ser bem difícil às vezes.
Esse tipo de problema é bem sutil. À princípio é óbvio para qualquer um que √2 é irracional, certo? Aprendemos isso na escola.
Provar o óbvio, contudo, pode ser bem difícil às vezes.
Robson Jr.- Fera
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Data de inscrição : 24/06/2012
Idade : 30
Localização : Rio de Janeiro, RJ
Re: Mostre que o número é irracional e racional.
por aprentice Qua 03 Out 2012, 17:38
Supondo que sqrt(2) é um número racional:
z = sqrt(2) => z² = 2 => z² - 2 = 0
Pelo teorema das raizes racionais, o conjunto de possiveis raizes é:
S = {-2,-1,1,2}
Mas nenhum desses valores é raiz da equação, o que implica que nossa suposição é falsa.
Jeito roubado de provar. : D
Edit: quando tiverem mais possibilidades, usa bolzano e elimina uma porrada. : P
z = sqrt(2) => z² = 2 => z² - 2 = 0
Pelo teorema das raizes racionais, o conjunto de possiveis raizes é:
S = {-2,-1,1,2}
Mas nenhum desses valores é raiz da equação, o que implica que nossa suposição é falsa.
Jeito roubado de provar. : D
Edit: quando tiverem mais possibilidades, usa bolzano e elimina uma porrada. : P
aprentice- Jedi
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