Equação polinomial

Considere a equação + 13x+m=0

(a) Determine m, sabendo que 2 é uma de suas raízes.
(b) Determine as demais raízes dessa equação.

f(x) = x³ + 6x² + 13x + m
f(2) = 0 => 8 + 24 + 26 + m = 0 => m = -58

Por Briot-Ruffini:
E | +1 +6 +13 -58
2 | +1 +8 +29 +0

x² + 8x + 29 = 0
Então:
∆ = 64 - 4*29 = -52
x = (-8 +- isqrt(52))/2

S = {2, -4 + isqrt(13), -4 -isqrt(13)}

Outra maneira de resolver é analisar a derivada e então notar que essa função é estritamente crescente para qualquer valor de x real, já que f'(x) > 0 para esses.
Desse modo, e sabendo que a função passa 1 vez pelo ponto 0 (pois f(-inf) < 0, f(inf) > 0), segue que a única raiz real é 2.
Logo, pelas relações de Girard:
z = a + bi

z + z' + 2 = -6 => 2Re(z) = -8 => Re(z) = -4
z*z'*2 = 58 => z*z' = 29 => a² + b² = 29 => 16 + b² = 29 => b = sqrt(13)

S = {2, -4 + isqrt(13), -4 -isqrt(13)}

Olá, bom dia!

--> Quando ia posta, o amigo aprentice já havia postado.. Mas vamos lá (o raciocínio é o mesmo)!

a) Basta substiutir o valor de 2 em "x" para encontar "m". Fazendo isso, encontrará m = -58.

b) Utilizando o Algoritmo de Briot-Ruffini chegamos na equação x² + 8x + 29, basta resolver e encontrar as demais raízes.

Espero ter ajudado.

Pietro

VLW:D