Divisão por 99

Considere os números da forma: 2535353...5353534, onde cópias de 53 são introduzidas entre os algarismos 2 e 4. Seja N o primeiro número que é divisível por 99. O número de algarismos de N é igual a:
a)170 b)172 c)174 d) 176 e)178

Vamos começar construindo o número.



Quando houver "n" de 53's, teremos:



Vejamos, agora, como cada parcela contribui para o resto na divisão por 99.



Entre parenteses há "n" potências ímpares de 10. Segue, pois:



Mas 530, por sua vez, deixa resto 35 na divisão por 99.



Fazendo a mudança de variável n = 3m:



Mas 105 deixa resto 6 na divisão por 99.



Note que para m = 29, (m+4) é divisível por 33 e logo 6(m+4) é divisível por 99.



Finalmente, do começo vemos que o nº de algarismos depende de 2.10^{2n+1}, que por sua vez possui 2n+2 algarismos.



Eu sinceramente não fiquei satisfeito com essa solução. Espero que ela te ajude em algo...

Muito obrigado.
Bem, eu vou tentar tirar algo. É que eu achei um tanto complicada, rsrs.

Oi, desculpa pelo "revive", mas eu consegui uma maneira (meio carteada, diga-se de passagem, porém honesta) de achar a resposta...

Na letra A temos 168/2 = 84 "8" (somando os 5 e 3) e 2+4.
Logo, 84*8 + 6 tem que ser múltiplo de 9.
Só que não é...

Só fazer isso até chegar ao gabarito.
Como é por 9, nem precisa fazer conta e como os intervalos
são pequenos, não tem como ter mais do que um múltiplo de 9 aí...

Por exemplo na letra D, o 176. São 174 números entre 5 e 3 , logo são 87 "somas 8" que dá 696 no total. Agora soma-se o 2 e o 4 lá e dá 702, múltiplo de 9.

Nem precisa checkar se é por 11, enfim... Foi a maneira mais honesta e coerente (e simples é claro) que eu encontrei. xD