Divisão por 99

por sotonayu Qua 26 Set 2012, 23:34

Considere os números da forma: 2535353...5353534, onde cópias de 53 são introduzidas entre os algarismos 2 e 4. Seja N o primeiro número que é divisível por 99. O número de algarismos de N é igual a:
a)170 b)172 c)174 d) 176 e)178

por **Robson Jr.** Qui 27 Set 2012, 00:51

Vamos começar construindo o número.

$\\ 2534=4+53.10+2.10^3 \\ 253534=4+53.10+53.10^3+2.10^5 \\ 25353534=4+53.10+53.10^3+53.10^5+2.10^7$

Quando houver "n" de 53's, teremos:

$2(53)_n4=4+53(10+10^3+10^5+...+10^{2n-1})+2.10^{2n+1}$

Vejamos, agora, como cada parcela contribui para o resto na divisão por 99.

$\small \\ \left\{\begin{matrix} 4\equiv 4 \ mod \ 99 ; \\ 53 \equiv 53 \ mod \ 99;\\ 10^{impar} \equiv 10 \ mod \ 99 \\ 2.10^{impar} \equiv 2.10 \equiv 20 \ mod \ 99 \end{matrix}\right.$

Entre parenteses há "n" potências ímpares de 10. Segue, pois:

$2(53)_n4 \equiv 4+53.10.n+20 \equiv 530n +24 \ mod \ 99$

Mas 530, por sua vez, deixa resto 35 na divisão por 99.

$2(53)_n4 \equiv 35n+24 \ mod \ 99$

Fazendo a mudança de variável n = 3m:

$2(53)_n4 \equiv 105m+24 \ mod \ 99$

Mas 105 deixa resto 6 na divisão por 99.

$2(53)_n4 \equiv 6m+24 \equiv 6(m+4) mod \ 99$

Note que para m = 29, (m+4) é divisível por 33 e logo 6(m+4) é divisível por 99.

$m=29 \Rightarrow n=3.29\Rightarrow n=87$

Finalmente, do começo vemos que o nº de algarismos depende de 2.10^{2n+1}, que por sua vez possui 2n+2 algarismos.

$\small 2.87+2={\color{Red} 176}$

Eu sinceramente não fiquei satisfeito com essa solução. Espero que ela te ajude em algo...

por sotonayu Qui 27 Set 2012, 03:06

Muito obrigado.
Bem, eu vou tentar tirar algo. É que eu achei um tanto complicada, rsrs.

por sotonayu Sex 01 Mar 2013, 23:06

Oi, desculpa pelo "revive", mas eu consegui uma maneira (meio carteada, diga-se de passagem, porém honesta) de achar a resposta...

Na letra A temos 168/2 = 84 "8" (somando os 5 e 3) e 2+4.
Logo, 84*8 + 6 tem que ser múltiplo de 9.
Só que não é...

Só fazer isso até chegar ao gabarito.
Como é por 9, nem precisa fazer conta e como os intervalos
são pequenos, não tem como ter mais do que um múltiplo de 9 aí...

Por exemplo na letra D, o 176. São 174 números entre 5 e 3 , logo são 87 "somas 8" que dá 696 no total. Agora soma-se o 2 e o 4 lá e dá 702, múltiplo de 9.

Nem precisa checkar se é por 11, enfim... Foi a maneira mais honesta e coerente (e simples é claro) que eu encontrei. xD

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