IME 64

(IME-64) Uma corda corta o diâmetro de um círculo segundo um ângulo de 45º. Demonstrarque a soma do quadrado dos segmentos aditivos “m” e “n”, com que a corda fica dividida, éigual ao dobro do quadrado do raio do círculo.

alguem poderia me ajudar por favor?

Questão repetida , mas como não fora respondida :
Vai ae a solução :

Ligue o centro do círculo às extremidades da corda para formar um triângulo de lados r, r e m + n.
Chamarei de x o segmento que vai do centro do círculo até o ponto de intersecção de m e n.

Lei dos cossenos:
m² + x² = r² + 2*m*x*cos135º <=> m² + x² = r² - mx√2 (I)
n² + x² = r² + 2*n*x*cos45º <=> n² + x² = r² + nx√2 (II)

(II) - (I) :
n² - m² = mx√2 + nx√2
(m + n)(m - n) = x√2(m + n)
n - m = x√2

(I) + (II):
m² + x² + n² + x² = r² - mx√2 + r² + nx√2
m² + n² + 2x² = 2r² + x√2(m - n)

Substitua n - m por x√2:
m² + n² + 2x² = 2r² + 2x²

Portanto:
m² + n² = 2r²

Espero ter ajudado. Um grande abraço e fique com Deus.