Considere um ∆ABC, onde AB = 5, BC = 6 e AC = 7 cm ...

Considere um ∆ABC, onde AB = 5, BC = 6 e AC = 7 cm. Traçamos as bissetrizes dos ângulos B e C. Elas se cruzam em I. Traça-se uma paralela a BC por I, cortando os lados AC e AB em E e D. Calcular o perímetro do ∆ADE.

Resp. 12 cm

Nat'
este pode ser resolvido praticamente pelo mesmo caminho do outro. Vamos lá. Todas as unidades em 'cm'.

Se I é o encontro de duas bissetrizes, então ele é o incentro do triângulo ABC.




a=6 ....... b=7 ....... c=5 ------> p=18 ------> s=9

aplicando a fórmula de Heron:


aplicando a lei dos cossenos para encontrar o cosseno do ângulo em B:
7² = 6² + 5² - 2.6.5.cosB
cosB = (36+25-49)/(2.6.5) -----> cosB = 1/5

senB = √(1 - 1/25) = √(24/25) -----> senB = 2√6/5

h = 5.senB -----> h = 2√6

h' = h - r = 2√6 - 2√6/3 -----> h' = 4√6/3

DE // BC ⇒ ∆ADE ~ ∆ABC → existe uma razão de semelhança 'k'.

k = h'/h = 4√6/(3.2√6) -----> k = 2/3

p_ADE = k.p_ABC -----> p_ADE = (2/3).18 -----> p_ADE = 12

Bom Dia Medeiros,
Veja se concorda, com essa alternativa para resolver este problema.
Cálculo da altura do triângulo ABC ( vértice A ao lado BC) - h(a)= {2 * Vp(p-a)(p-b).(p-c)}/a.
h(a)=2V6
Cálculo do raio do círculo inscrito :2V6/3 ( como você calculou por Herão)

Altura do triângulo ADE >> h1= 2V6-2V6/3 = 4V6/3

Fazendo a semelhança entre os Triângulos ADE e ABC encontramos DE =4

Como você resolveu a poucos dias um problema semelhante .
A razão de semelhança vale para todos as medidas análogas.
Então chamando de 2p o perímetro de ADE teremos:
DE/6=2p/18 4/6=2p/18 2p(ADE)=18.4/6=12cm.

Att

Obrigada Madeiros & Raimundo pela ajuda!

Raimundo, só não entendi essa parte:
DE/6=2p/18 4/6=2p/18 2p(ADE)=18.4/6=12cm

Você poderia me explicar novamente, please?

Olá Nat,
Você não entendeu porque eu digitei errado DA , quando e o certo é DE (base de ADE)
Mas, como falei acima a razão de semelhança vale para os lados e também para os perímetros nas figuras semelhantes. ADE semelhante ABC.
DE=4 - base de ADE
BC=6 - base de ABC
2p - perímetro de ADE
18 - perímetro de ABC. Alles Klar ?

Att

Aaah! Agora sim entendi!
Obrigada Raimundo pela ajuda!
Você e o Medeiros estão me ajudando muito mesmo!
Eu não sou muito boa com essa matéria!

Nat é isso aí " determinação".
Lembre que sopa quente se come pelas beiradas. rsrsrs

Rsrsrs! Bem lembrado!

raimundo pereira escreveu:Bom Dia Medeiros,
Veja se concorda, com essa alternativa para resolver este problema.
Cálculo da altura do triângulo ABC ( vértice A ao lado BC) - h(a)= {2 * Vp(p-a)(p-b).(p-c)}/a.
h(a)=2V6
Cálculo do raio do círculo inscrito :2V6/3 ( como você calculou por Herão)

Altura do triângulo ADE >> h1= 2V6-2V6/3 = 4V6/3

Fazendo a semelhança entre os Triângulos ADE e ABC encontramos DE =4

Como você resolveu a poucos dias um problema semelhante .
A razão de semelhança vale para todos as medidas análogas.
Então chamando de 2p o perímetro de ADE teremos:
DE/6=2p/18 4/6=2p/18 2p(ADE)=18.4/6=12cm.

Att

Bom dia, Raimundo
Já que solicitou minha opinião...

1) não ficou claro aqui:
h(a)= {2 * Vp(p-a)(p-b).(p-c)}/a.
Estou supondo que é isto -----> h_a = 2*√[p(p-a)(p-b)(p-c)]/a ........., onde a parte em azul é a área dada por Hierão.
Acho perfeito, uma boa ideia. É mais rápido do que usar a lei dos cossenos e depois aplicar Pitágoras, que foi o que fiz.

2) "Fazendo a semelhança entre os Triângulos ADE e ABC encontramos DE =4"
Quando encontramos DE através da semelhança de triângulos, é porque obtivemos anteriormente a razão de semelhança (k). Ora, se temos k e temos o perímetro 2p, não precisamos calcular DE para, depois, calcular o outro perímetro -- isto é fazer conta a mais. De qualquer forma, também é válido.

Acho que quanto mais soluções diferentes, mais enriquece o fórum; além disso, a qualidade das suas resoluções -- com as quais tenho aprendido -- enriquece ainda mais.

Um abraço.

Bom dia Medeeiros ,

Exatamente como você entendeu. Essa fórmula da altura e duduzida a partir do teorema de Heron. Assim como a fórmula para cálculo da mediana, ajudam bem ( ganha-se tempo) em algumas resoluções. Grato

Att