Calcule o perímetro do ∆ADE

Em um ∆ABC de lados AB = 9, AC = 12 e BC = 15, traça-se DE paralela a BC passando pelo baricentro do triângulo (D em AB e E em AC). Calcule o perímetro do ∆ADE.
Resp. Não sei.

Pessoal, eu estou fazendo aqui, e encontrei 54 como resposta... Mas estou acho que está errado!
Alguém pode me ajudar?

Fórmula para calcular a mediana de um triângulo.

M(a)= (V2b²+2c²-a²)/2 O radical vai até o a².

Neste caso calcularemos a mediana referente ao vértice a, oposto ao lado BC. M(a)=15/2

Traçando a paralela DE=x , podemos fazer a semelhança entre os triângulos ADE e ABC , temos:

DE/BC = AG/AM x/15 = (2/3 * 15/2) / 15/2 >> x= DE = 30

Para calcular o perímetro , teremos que achar as medidas de AE e AD, e para isso temos que achar EC e DB.

Para achar EC e DB faça a semelhança dos triângulos AGE com AMC e depois de AGD com AMB.

Trbalhoso né ? agora deixo para usted. Se precisar faço um desenho.

Att

Estamos considernado G o baricentro e M o ponto médio do lado BC.

Att

Uma tentativa para seus comentários.

Se DE//BC, então triâng.ADE~triâng.ABC. Restanos achar a razão de semelhança, lembrando que DE passa pelo baricentro.

O baricentro divide a mediana na razão k=2/3 em relação ao vértice.
Como há semelhança, essa razão vale para todos os lados e dimensões homólogas, i.e., altura, perímetro, ... Então:

pADE = k.(pABC) ----> pADE = (2/3).(9+12+15) ----> pADE= 24

Bom dia Medeiros . Perfeito. Percebi que havia solução mais simples , mas não consegui ver. Também errei em algum cálculo, pois DE não pode ser maior do que devo BC , depois eu vejo. Esse é o objetivo. Procurar a resolução mais prática, pois,para o pessoal que está estudando o tempo é fator decisivo. Abraço.

Raimundo, muito obrigada pela ajuda!
Por acaso teria outro jeito de fazer sem utilizar a fórmula para calcular a mediana de um triângulo? É que eu sou muito ruim para decorar fórmulas!

E se fizer assim:

Eu ainda não tinha visto a solução do Medeiros...
Muito obrigada Raimundo & Medeiros pela ajuda!

Boa noite (: Por que a razão é k=2/3?

Nathaly

Isso é uma propriedade básica das medianas.

As medianas de qualquer triângulo se encontram no ponto G, chamado baricentro -- é o centro geométrico ou de gravidade da figura, considerada, esta, como um corpo chato e homogêneo.

Propriedade: sobre cada uma das medianas, a distância do vértice ao baricentro está para a distância do baricentro ao lado assim como 2 está para um.

Da proporção acima, se a mediana vale 3, então a distância do vértice ao baricentro vale 2.

Aaaaaaaah sim! Obrigada!!!