Cinemática - Movimento Uniformemente Variado

Olá pessoal, boa noite!
Essa dúvida surgiu após eu responder uma dúvida do amigo William, no seguinte tópico:
https://pir2.forumeiros.com/t33976-dois-corpos-a-e-b
Então para não confundir o colega, nem gerar posts talvez desnecessários, resolvi abrir um novo outro tópico para tentar eliminar essa minha dúvida...
Vamos lá...

É o seguinte:

Sabemos que no MUV a velocidade média entre dois instantes pode ser calculada através da média aritmética das velocidades nestes instantes. Em outras palavras, seja v1 a velocidade num instante t1 e v2 a velocidade em outro instante t2, a velocidade média entre esses dois instante é (v1 + v2)/2. Certo?

Vale salientar que nesta equação, o sinal das velocidades são importantíssimos, por exemplo, suponha um móvel cuja equação horária do espaço e da velocidade sejam as seguintes:

S = 20 - 12t + 3t² (SI)
e
v = -12 + 6t (SI)

Qual a velocidade média entre os instantes t' = 1s e t'' = 4s?

- Ora, podemos fazer simplesmente por Vm = ∆s/∆t = S'' - S'/∆t
Espaço em t' = 1s:
S' = 20 - 12.1 + 3.(1)²
S' = 20 - 12 + 3
S' = 11 m

Espaço em t'' = 4s:
S'' = 20 - 12.4 + 3.(4)²
S'' = 20 - 48 + 48
S'' = 20m

Então:
Vm = (20 - 11)/(4-1) = 9/3
Vm = 3 m/s

- Porém, também podemos fazer pela fórmula "simplificada" do MUV, que é:

Vm = (v' + v'')/2

Calculando v':
v' = -12 + 6t'
v' = -12 + 6.1
v' = -12 + 6
v' = -6 m/s

Calculando v'':
v'' = -12 + 6.t''
v'' = -12 + 6.4
v'' = -12 + 24
v'' = 12 m/s

Vm = (v' + v'')/2
Vm = (-6 + 12)/2
Vm = 6/2
Vm = 3m/s => Confirmando o que encontramos mais acima, se NÃO usássemos o sinal negativo, o resultado seria diferente. Comprovamos então que o uso do sinal é importante SIM na fórmula "simplificada" do MUV. Correto?

_________

Vamos agora ao caso da questão... O enunciado é o seguinte:

"Dois corpos A e B, ambos em movimento uniformemente variado ao longo de um eixo x, se cruzam duas vezes: no instante t1 e no instante t2. Suas velocidades escalares são respectivamente iguais a Va Vb, no instante t1, e Va' e Vb', no instante t2:



Determine a razão:
(Va - Vb) / (Va' - Vb')" => Resposta: -1.

Verifiquem lá no tópico que eu fiz o seguinte:
Vma = Vmb
[(Va + Va')/2] = [(Vb + Vb')/2]
Va + Va' = Vb + Vb'
Va - Vb = Vb' - Va'
Va - Vb = -Va' + Vb
Va - Vb = -1 (Va' - Vb')

(Va - Vb)/(Va' - Vb') = -1

Porém, fazendo dessa forma, não foi considerado OS SINAIS das velocidades. Se fossemos considerá-los (que como vimos, é importante), teríamos que:

Corpo A:
-Va e + Va'

Corpo B:
+Vb e -Vb', então:

Vma = Vmb
(-Va + Va')/2= (+Vb - Vb')/2
-Va + Va' = +Vb - Vb'
-Va - Vb = - Vb' - Va'
Va + Vb = Vb' + Va'

Dessa forma, não consigo encontrar a resposta correta, que é -1.

Alguém tem alguma opinião para tentar me ajudar?
Muito obrigado!

Vou dar a ideia que eu entendi.

O VALOR de Va é negativo, mas não sua representação. Va pode ser igual a -10, mas Va = +Va, entendeu?

Portanto, vou continuar supondo que Va é -10, se você substitui na equação

Va = -10, beleza.
Porém, -Va = -(-10) = 10

Viu? Aí que aconteceu a mudança do sinal!

Vou supor que Va = -10 e Va' = 20, oks?

(Va + Va')/2 = Vm
(-10 + 20)/2 = Vm
Vm = 5

Porém:

(-Va + Va')/2 = Vm
(10 + 20)/2 =Vm
Vm = 15

Entendeu? O valor numérico da velocidade é negativo, mas sua representação, não.

Abraço e boa noite!

Olá, Alfadur.
Entendi sim. Muito obrigado!
Abraço!!

___

@edit Olá, novamente, Alfadur.
Assim que acabei de "tentar entender" essa questão, fui dá uma lida em outro assunto no livro e acabei me deparando com isso:



Observe que neste caso, ele considerou a representação das velocidades na descida como negativa, contrariando o meu entendimento. Poderia me ajudar, mais uma vez?

Muito obrigado!!

Nesse segundo problema, o -Va representa o vetor Va.

A velocidade é a mesma, o valor é o mesmo, porém, o sentido é ao contrário.

Se você tem uma força para direita denominada F, a mesma intensidade de força para a esquerda pode ser representado por -F e foi esse princípio que ele utilizou.

No caso da velocidade média (1ª pergunta) o valor da velocidade Va pode ser tanto positivo quanto negativo, portanto, a representação vai ser Va e o valor dela vai determinar o sinal.

No caso da segunda questão (lançamento vertical), o valor da velocidade contra a trajetória vai ser sempre negativo, por isso se usa -Va.

Não sei se consegui explicar de uma forma "entendível". Se a dúvida persistir, pode perguntar!

Olá, Alfadur.
Acredito que entendi sim, colega.
Muito obrigado pela ajuda.
Abraço!!
Até mais!