calcular integral

por josemessias Dom 24 Jun 2012, 16:33

f(x,y)= y + sqrt(x²+y²) sobre o conjunto D⊆R², a região do círculo de raio 2 centrado na origem se situa no segundo quadrante.

Como calculo o integral disto?

por danjr5 Sáb 21 Jul 2012, 22:01

Mudança de variável - Polar

Como se trata de um círculo de raio 2, temos $0 \leq r \leq 2$ e está no 2º quadrante... $\frac{\pi }{2} \leq \theta \leq \pi$

Resta-nos fazer as devidas mudanças, veja:
Ah! Não esqueça o Jacobiano.

$\int_D \int y + \sqrt{x^2 + y^2}dxdy =\\\\\\ \int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }\int_{0}^{2}(r.sen\theta + r)rdrd\theta =\\\\\\ \int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }\left [ \frac{r^3.sen\theta}{3} + \frac{r^3}{3} \right ]_{0}^{2}d\theta =\\\\\\ \frac{8}{3}\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }(sen\theta - 1) d\theta =\\\\\\ {\color{Blue} \frac{8}{3}\left ( 1 - \frac{\pi }{2} \right )}$

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