PA .

por May007 Qui 21 Jun 2012, 11:11

Mostre que ax^4 + bx² + c = 0 (a≠0) possui raízes em progressão aritmética se e só se 9b² = 100 ac.

por **Elcioschin** Qui 21 Jun 2012, 19:07

ax^4 + bx² + c = 0 ----> é uma equação biquadrada

As 4 raízes são simétricas, duas a duas ----> (m, -m) ; (p, -p), com |m| < |p|

Neste caso a PA (crescente) seria ----> - m , - p , p, m

Sendo r a razão da PA:

-p = -m + r -----> I
p = - p + r -----> II
m = p + r -----> III

I + II + III ------> m = - m + 3r -----> 3r = 2m ----> r = 2m/3

PA expressa em funçãode m -----> - m, - m/3, m/3, m

Relações de Girard para a*(x²)² + b*(x²) + c = 0 ----> Equação do 2º grau

m² + p² = - b/a ----> m² + (m/3)² = - b/a ----> (10/9)*m² = -b/a ----> m² = (9/10)*(-b/a) ----> m^4 = (81/100)*(b²/a²) ----> I

m²*p² = c/a -----> m²*(m/3)² = c/a ----> m^4/9 = c/a ----> m^4 = 9*(c/a) ----> II

I = II -----> (81/100)*(b²/a²) = 9*(c/a) ----> 9b² = 100ac

PA .

PA .

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