Relações

Seja R uma relação sobre ℕ definida por:
R = {(x;y) ∈ ℕ² | x -y é divisível por 3}
R é uma relação de equivalência?
A resposta é sim, teria como alguém demonstrar o porque?

Para que essa relação seja de equivalência, temos que ter três coisas.
* A relação deve ser reflexiva, ou seja, xRx deve existir.
* A relação deve ser simétrica, ou seja, se xRy, então yRx.
* A relação deve ser transitiva, ou seja, se xRy e yRz, então xRz.

* A relação é reflexiva? *
x - x = 0 e 0 é divisível por 3
Sim, a relação é reflexiva.

* A relação é simétrica? *
Se x - y é divisível por 3, temos que y - x também é divisível por 3, já que a única coisa que mudaria seria o sinal.
Sim, a relação é simétrica.

* A relação é transitiva? *
Se x - y é divisível por 3 e y - z é divisível por 3 também, então...
x - y = w -> - y = w - x -> y = x - w
x - w - z = k -> x - z = k + w (w é um múltiplo de 3 e k também)
Isso significa que x - z também é divisível por 3.
Sim, a relação é transitiva.

Então, essa relação é de equivalência.

Espero ter ajudado. ^_^

Obrigado!