Decomposição de Polinômio

Sabendo-se que o polinômio P(x)= 2x^3 +mx^2 + nx -1 é divisivel por Q(x) x^2-1. Pode-se concluir que sua decomposição em um produto de fatores do 1º grau, é?

resposta= (2x+1) (x+1) (x-1)
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Eu dividi o polinômio na forma tradicional. Igualei o resto a zero. Achei n=-2 e m=1. O polinômio ficou: 2x^3 - 2^2 +x -1. Pelos divisores do número independente achei 1 como uma das raízes. Ai tentei achar as outras raízes pelo método de Briot-Ruffini. Só que achei raízes complexas: x^2 = -1/2. Alguém pode me ajudar?

Se um polinômio P(x) é divisivel por Q(x) , então todas as raizes de Q(x) são de P(x).

Q(x) = x²-1

Por inspeção, é facil notar que as raizes de Q(x) são 1 e -1

Apliquemos então, 1 e -1 em P(x), como também são raizes, temos que P(1) = 0 e P(-1) = 0

P(1) = 2(1)³ + m(1)² + n(1) - 1 = 0

P(-1) = 2(-1)³ + m(-1)² +n(-1) -1 = 0

Montemos o sistema então para descobrirmos m e n:

{ 2 + m + n -1 = 0
{-2 + m - n - 1 = 0

{ m + n = -1
{ m - n = 3

Somando as duas linhas , cancelamos o n :

2m = 2 .'. m=1

Se m = 1, basta substituirmos na equação acima e acharmos n :

1 - n = 3 .'. - n = 3-1 .'. n = -2

Você chegou onde eu cheguei. A questão pede a decomposição do polinômio rs. Se não for pedir muito..poderia terminar?Tenho dúvida nessa parte. Desde já, obrigada!!!

Amei a sua dica. Pensava que essa relação só poderia ser usada quando o divisor fosse do 1º grau.

Terminando :
P(x)= 2x³ +x² + -2x -1

Vimos que as raízes são 1 e -1.
Para decompormos o polinômio em questão , ja que é do terceiro grau, basta acharmos sua terceira raiz.
Para isso, podemos utilizar o teorema de Ruffini, com a finalidade de abaixar o grau do polinomio:

1 | 2 , 1 , -2 , -1
. | 2 , 3 , 1, 0

Podemos escrever então :
(x-1)(2x²+3x+1)

Achando as raizes da equação do seg. grau :

∆ = 3³ -4.2.1 = 9-8 = 1
x = (-3 ± 1)/2

x = -1 (como era previsto)
x' = -2

Toda equação do segundo grau, do tipo com raizes r' e r'' :
F(x) = αx² + βx +c

Pode ser escrita da seguinte forma :
α(x-r')(x-r'')

Portanto , para a equação do segundo grau:
2(x-(-1)(x-(-2) = 2(x+1)(x+2) -> Que é a forma decomposta da equação do segundo grau que foi achada no P(x) lá.

Voltemos para P(x) : (x-1)(2x²+3x+1)

Escrevemos como (x-1)2(x+1)(x+2)

Organizando :

2(x-1)(x+1)(x+2)