(UF-SC)Trigonométria na circunferência?

Sejam a e b os ângulos centrais associados, respectivamente, aos arcos AN e AM na circunferência trigonométrica da figura 1 e considere x na figura 2, a seguir.



Determine o valor de y = 15x^4, sabendo que a + b = pi/2.

OBS: No triângulo da figura 2 o lado apagado é OP + OQ.

Temos:

OA = 1
OP = cos a
OQ = cos b
PN = sen a
QM = sen b

x² = ( cos a + cos b )² + ( sen a + sen b )²

x² = 2 + 2*cos a*cos b - 2*sen a*sen b

x² = 2 + 2[ cos ( a + b ) ]

x² = 2 + 2*cos ( pi/2 )

x² = 2 => x = √2

y = 15*( √2 )^4 = 15*4 = 60.

Valeu Mestre!!!

Jose Carlos escreveu:Temos:

OA = 1
OP = cos a
OQ = cos b
PN = sen a
QM = sen b

x² = ( cos a + cos b )² + ( sen a + sen b )²

x² = 2 + 2*cos a*cos b - 2*sen a*sen b

x² = 2 + 2[ cos ( a + b ) ]

x² = 2 + 2*cos ( pi/2 )

x² = 2 => x =  √2

y = 15*(  √2 )^4 = 15*4 = 60.

Perdão pela ignorância e por "ressuscitar" o tópico mas por que na 2ª linha temos - 2 senaseb ? Porque não seria +2 senaseb ? Obrigada pela atenção!

Lolisa73 escreveu:

Jose Carlos escreveu:Temos:

OA = 1
OP = cos a
OQ = cos b
PN = sen a
QM = sen b

x² = ( cos a + cos b )² + ( sen a + sen b )²

x² = 2 + 2*cos a*cos b - 2*sen a*sen b

x² = 2 + 2[ cos ( a + b ) ]

x² = 2 + 2*cos ( pi/2 )

x² = 2 => x =  √2

y = 15*(  √2 )^4 = 15*4 = 60.

Perdão pela ignorância e por "ressuscitar" o tópico mas por que na 2ª linha temos - 2 senaseb ? Porque não seria +2 senaseb ? Obrigada pela atenção!

Então amiga, é simplesmente porque o Jose Carlos deve ter se distraído com os sinais na primeira linha, acontece.

A equação correta seria: x²= (cos a + cos b)² + (sen a - sen b)²
(perceba, no triângulo da imagem, que o cateto de baixo é PN - QM, o que é o mesmo que sen a - sen b, e não sen a + sen b).

x²= cos² a + cos² b + 2*cos a*cos b + sen² a + sen² b - 2*sen a*sen b

x²= 2 + 2(cos a*cos b - sen a*sen b) 
(aqui usamos da relação trigonométrica "sen² x + cos² x= 1", e colocamos o 2 do que sobrou em evidência)

x²= 2 + 2(cos (a + b))
(relação trigonométrica de adição e subtração de arcos)

Porém, como a + b= 90º, cos (a + b)= cos 90º= 0

x²= 2; logo: y= 15*(x^4)= 15*4= 60.


Espero ter ajudado!

Algo que também seria viável para resolver essa questão seria atribuir um valor para a (arco an) e b (arco am) ...tipo supondo um valor de 60° para o arco ''a'' e um valor 30° para arco ''b'' (a+b=90° como diz o enunciado) também daria certo e fica mais didático e prático de entender.