Função FEI

por rodolphoasb 2/5/2012, 7:15 pm

Se f(2x + 3) = 4x² + 6x + 1; ∀ x ∈ lR, então f(1 - x) vale:

GAB: x²+x-1

Podem me mostrar a resolução por favor?

por Werill 2/5/2012, 10:06 pm

Devo ter feito coisas a mais, mas valos lá Very Happy

Lembremos que temos a equação na forma:
f(x) = ax² + bx + c

_________________________________

f(2x + 3) = a(2x + 3)² + b(2x + 3) + c
f(2x + 3) = (4x² + 12x + 9)a + (2x + 3)b + c
f(2x + 3) = 4ax² + 12ax + 2bx + 9a + 3b + c

Comparando com:

f(2x + 3) = 4x² + 6x + 1

• Vemos que a = 1

f(2x + 3) = 4x² + 12x + 2xb + 9 + 3b + c

• 6x = 12x + 2xb
b = -3

• 1 = 9 + 3b + c
c = 1

Temos então:
f(x) = x² - 3x + 1

Logo,
f(1 - x) = x² + x - 1

por **JOAO [ITA]** 4/5/2012, 12:58 am

Também pode ser resolvido da seguinte forma:

1º Achar a função f(x):

$f(k)=f(2x+3)=4x^2+6x+1\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow k=2x+3\Leftrightarrow x=\frac{k-3}{2} \\ \\ f(k)=4x^2 + 6x+1\Leftrightarrow \\ f(k)=4.(\frac{k-3}{2})^2+6.(\frac{k-3}{2})+1\Leftrightarrow \\ f(k)=k^2-6k+9+3k-9+1\Leftrightarrow \\ f(k)=k^2-3k+1$

.Substituindo k por x, vem:

$f(x)=x^2-3x+1$

2º Achar f(1-x):

$f(x)=x^2-3x+1\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow f(1-x)=(1-x)^2-3.(1-x)+1\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow f(1-x)=x^2 -2x+1+3x-3+1\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow f(1-x)=x^2+x-1$

OBS: Essa resolução deixa esse tipo de questão com uma solução mais generalizada.