(CN-11) O número real...

por sotonayu Sex 06 Abr 2012, 23:16

$\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}$ é igual a:

Gabarito:
$\sqrt{7-4\sqrt{3}}$

Já tentei pensar de várias maneiras... Isso aí é sinistro.

por **aryleudo** Sex 06 Abr 2012, 23:55

Lembre-se do Cubo da Diferença:
$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

Desenvolvendo $\sqrt[3]{}{26-15\sqrt{3}}$ :
$\\\\\sqrt[3]{}{26-15\sqrt{3}}=\sqrt[3]{}{8+18-12\sqrt{3}-3\sqrt{3}} \\\\\sqrt[3]{}{26-15\sqrt{3}}=\sqrt[3]{}{8-12\sqrt{3}+18-3\sqrt{3}} \\\\\sqrt[3]{}{26-15\sqrt{3}}=\sqrt[3]{}{2^3-3\times(2)^2\times\sqrt{3}+3\times2\times(\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^3} \\\\\sqrt[3]{}{26-15\sqrt{3}}=\sqrt[3]{}{(2-\sqrt{3})^3} \\\\\sqrt[3]{}{26-15\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$

Lembre-se do Quadrado da Diferença:
$(a-b)^2= a^2-2ab+b^2$

Desenvolvendo $\\\\\sqrt{7-4\sqrt{3}}$ :
$\\\\\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\sqrt{4+3-2\times2\times\sqrt{3}} \\\\\sqrt{7-4\sqrt{3}} = \sqrt{4-2\times2\times\sqrt{3}+3} \\\\\sqrt{7-4\sqrt{3}} = \sqrt{2^2-2\times2\times\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2} \\\\\sqrt{7-4\sqrt{3}} = \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} \\\\\sqrt{7-4\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3}$

Note que $\sqrt[3]{}{26-15\sqrt{3}}$ = $\\\\\sqrt{7-4\sqrt{3}}$ .

por sotonayu Sáb 07 Abr 2012, 00:01

Obrigado!

Mas ainda não consegui entender o cubo da diferença dando o resultado q deu

Vc abriu o 26 pra 18 + 8, mas e o -12 raiz de 3 - 3 raiz de 3? Eu sei, eu sei, faz parte do cubo da diferença aberto... =/

por **aryleudo** Sáb 07 Abr 2012, 00:06

-15V3 = -12V3 - 3V3
-15V3 = -3.4.V3 - (V3)³

Estou tentando completar o Cubo da Diferença!

Onde:
V3 : raiz de 3

por sotonayu Sáb 07 Abr 2012, 00:14

hm

to conseguindo entender com dificuldade

vo analisar melhor

mto obrigado de qlqr forma

o problema sou eu q nao consigo ver por cima.. qlqr coisa te peço ajuda de novo ha ^^"

obrigado Smile

por **aryleudo** Sáb 07 Abr 2012, 00:26

Qualquer dúvida é só dizer!

E não fique triste, pois essa questão tem um nível bastante elevado. Como de costume o CN sempre o nível lá em cima!

por sotonayu Sáb 07 Abr 2012, 01:57

$\\\\\sqrt[3]{}{26-15\sqrt{3}}=\sqrt[3]{}{2^3-3\times(2)^2\times\sqrt{3}+3\times2\times(\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^3} \\\\\sqrt[3]{}{26-15\sqrt{3}}=\sqrt[3]{}{(2-\sqrt{3})^3} \\\\\sqrt[3]{}{26-15\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$

Poderia me explicar a visão de achar o produto notavel aí?

eu fiz.. 4-4V3+3(2-V3)

8-4V3-8V3+4.3+6-3V3
8-12V3+12+6-3V3
8-12V3+18-3V3 e confirmei com o que vc achou, e entendi também q vc fechou o produto, cancelou o cubo com a raiz cúbica, etc... Mas não consegui ver como vc viu... em enxergar naquela quantidade de números manipulados (raiz quadrada de 3 elevado a 3 só por algum motivo especial, certo? pq "seria" mais interessante fazer o 18 só sendo 2.2².3 e não 2.3².V3² se não houvesse algum motivo pra isso

como eu vejo a diferença de 2 cubos aí? .__. vlw!

edit: Opa! ACHO que eu entendi. Tipo, como a raiz é cúbica e você tinha termos dentro dela, você precisou "forçar" pra que esses termos fossem abertos de uma maneira que pra resulta-los novamente fosse necessário multiplica-lo 3 vezes, certo? Então depois de tirar essa prova de que era possível, você fez a diferença de 2 cubos onde os cubos eram os membros que se repetiam (3 raizes de 3 e 3 números 2) e o -3 e o 3 se cancelaram naquela hora... ficando 2³ x (2)² x V3 x 2 x (V3)² - (V3)³.

Nossa, que visão incrível. Se eu não tivesse martelado mais um pouquinho eu não teria nem notado que tudo ali era só feito de 2 e de raiz de 3 e que dava pra abrir o cubo por causa disso.

Quer dizer, eu presumo que seja isso, né. ._.

por **aryleudo** Sáb 07 Abr 2012, 11:46

Como falei no tópico acima, não é tão simples conseguir visualizar os Produtos Notáveis.

Após muito treino e bastantes exercícios você consegue adquirir essa habilidade de perceber os Produtos Notáveis.

E não precisei forçar nada, apenas o reescrevi de forma a aparecer o Cubo da Diferença.