Produto vetorial

Sejam u = (1,1,1)b e v=(0,1,2)b. Obtenha uma base ortonormal positiva (a,b,c) tal que:

- a e u sejam de mesmo sentido;
- b seja combinação linear de u,v;
- a primeira coordenada de b seja positiva.

o que significa dizer que a e u serão do mesmo sentido? é a mesma coisa que pensar que a = ßu, por exemplo?enfim..
cheguei que
b= (x,x,x) + (0,y,2y) ou b = (x,x+y,x+2y). (porque b é combinaçao linear de u e v).
mas nao consigo montar mais nada para estabelecer um sistema.
;~

resposta
a= (1,1,1)/√3 b=(1,0,-1)/√2 c=(-1,2,-1)/√6

Aconselho você a reler a teoria.

O que significa dizer que a e u serão do mesmo sentido?
Que existe um λ>0 pertencente ao reais, tal que, a = λu
Se λ<0, então a e u possuem sentidos opostos.


Uma base ortonormal é formada por vetores unitários dois a dois perpendiculares entre si.
Se a base B = (a,b,c) é ortonormal, então:
a•b = 0;
a•c = 0;
b•c = 0;
e
|a|=|b|=|c|= 1

Sejam u = (1,1,1)b e v=(0,1,2)b , a = (a,a',a"), b = (b,b',b") , c = (c,c',c")

Se a e u são de mesmo sentido, então:
a = αu => (a,a',a") = α(1,1,1) =>(a,a',a")=(α,α,α) , com α >0.

|a|=1 ---> V(α²+α²+α²) = 1 => V(3α²) = 1 => α² = 1/3 => α = +1/V3, mas α >0, Logo α = 1/V3
Então a = (1/V3,1/V3,1/V3) = (1,1,1)/V3


Se b é combinação linear de u,v, então a tripla (b,u,v) é LD e:
b = βu + μv => (b,b',b") = (β,β+μ,β+2μ)

a primeira coordenada de b seja positiva, com isso sabemos que β >0

|b|= 1 ---> V((β)² + (β+μ)² + (β+2μ)²) = 1 => β² + β² + 2βμ + μ² + β² + 4βμ + 4μ² = 1 ==> 3β² + 6βμ + 5μ² = 1

Agora partimos de a•b = 0;

(1,1,1)/V3 • (β,β+μ,β+2μ) = 0 ==> (β+β+μ+β+2μ)/V3 = 0 ===> 3β+3μ = 0 =>
β + μ = 0 ==> μ = -β

Agora voltando a 3β² + 6βμ + 5μ² = 1.

3β² + 6β(-β) + 5(-β)² = 1 ==> 3β² - 6β² + 5β² = 1 ==> β² = 1/2 ==> β =+1/V2 , mas β>0, então β = 1/V2 e μ = -1/V2
Com isso b = (β,β+μ,β+2μ) = (1/V2, 0 , -1/V2) = (1,0,-1)/V2

Agora calculemos c apartir de a•c = 0, b•c = 0 e |c|= 1.
->a•c = 0
(1,1,1)/V3 • (c,c',c") = 0 ==>(c + c' + c")/V3 = 0 ==> c + c' + c" = 0

->b•c = 0

(1,0,-1)/V2 •(c,c',c") = 0 ==> (c - c")V2 = 0 ==> c - c" = 0


->|c|= 1
V(c² + c'² + c"²) = 1 => c² + c'² + c"² = 1

Com isso obtemos o sistema:
c + c' + c" = 0
c - c" = 0
c² + c'² + c"² = 1

Que deixarei pra você. xD
Vou jantar, caso não consiga eu resolvo xD

Hey! Obrigada mais uma vez.
Eu estava tomando o caminho correto, até cheguei no 3β² + 6βμ + 5μ² = 1, mas fiquei com medo de estar fazendo \"censurado\" e pensei que havia um caminho mais fácil.
vlws