Equação Trigonométrica (III)

O conjunto solução de (tg²x - 1)(1 - cotg²x) = 4, x ≠ k*pi/2, k ∈ Z, é

a) {(pi/3) + (k*pi/4), k ∈ Z}
b) {(pi/4) + (k*pi/4), k ∈ Z}
c) {(pi/6) + (k*pi/4), k ∈ Z}
d) {(pi/8) + (k*pi/4), k ∈ Z}
e) {(pi/12) + (k*pi/4), k ∈ Z}

Obs.: no lugar do smile é um 8. Não sei pq está saindo o smile.

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Olá Pedro. alguns sinais grafados são os códigos dos smileys. Para evitá-los basta desativá-los no box logo abaixo na área de redação do post.
euclides

(tg²x - 1)*(1- cotg²x) = 4
condição
--> (tg²x-1) ≠ 0 -----> tg²x ≠ 1 ----> tg(x) ≠ ±1 ----> x ≠ pi/4 + kpi/2
--> (1-cotg²x) ≠ 0 --> cotg²x ≠ 1 --> cotg(x) ≠ 1 ---> x ≠ idem

(tg²x - 1)*(1 - 1/tg²x) = 4
condição ---> tg²x ≠ 0 ----> tg(x) ≠ 0 ----> x ≠ 0 ou x ≠ pi ----> x ≠ kpi

tg²x - 1 - 1 + 1/tg²x = 4
tg²x + 1/tg²x - 6 = 0
tg⁴x - 6tg²x + 1 = 0 .......... eq. do 2º grau na variável tg²x

tg²x = (6±4√2)/2 = 3 ± 2√2
tg(x) = ±√(3±2√2)

cálculo parcial para √(3±2√2) :
u = √[3²-(2√2)²] = √(9-8) = 1
√(3±2√2) = √[(3+1)/2] ± √[(3-1)/2] = √2 ± 1

tg(x) = ±(√2 ± 1)

É conhecido, embora não muito, o arco:
arctg(√2+1) = 67,5º = 3pi/8
arctg(√2-1) = 22,5º = pi/8
ou, então, usa-se a calculadora.

Então,
para tg(x) = +(√2 + 1) ----> x = 3pi/8 + kpi
para tg(x) = +(√2 - 1) ----> x = pi/8 + kpi
para tg(x) = -(√2 + 1) ---> x = 13pi/8 + kpi = 5pi/8 + kpi
para tg(x) = -(√2 - 1) ----> x = 15pi/8 + kpi = 7pi/8 + kpi

Percebe-se que os valores ocorrem a cada 2pi/8, ou seja, a intervalos de pi/4. Como pi/4 é divisor de kpi e estão sendo respeitadas as condições proibidas acima, podemos escrever finalmente:
x = pi/8 + kpi/4

Mestre Medeiros, ótima resolução. Mas eu raciocinei um pouquinho diferente :