TEOREMA DE PTOLOMEU

por Marcos Sáb 17 Dez 2011, 16:36

TEOREMA DE PTOLOMEU

''Num quadrilátero inscritível,o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos.''

TEOREMA DE PTOLOMEU Teoremadeptolomeu

1ª Demonstração:

Sejam:

$AB=a$ , $BC=b$ , $CD=c$ , $DA=d$ , $AC=p$ e $BD=q$ .

Seja $P$ o ponto sobre o $BD$ tal que $\angle BAP=\angle CAD$ .

Desde que $\Delta APD\sim \Delta ABC$ :

$\frac{PD}{b}=\frac{d}{p}\Rightarrow PD.p=b.d (1)$

Como $\Delta APB\sim \Delta ADC$ :

$\frac{BP}{c}=\frac{a}{p}\Rightarrow BP.p=a.c (2)$

Somando $\left ( 1 \right )$ e $\left ( 2 \right )$ :

$p(PD+BP)=a.c+b.d$

$\large {\color{DarkBlue} p.q=a.c+b.d}$

(c.q.d)

2ª Demonstração:

Em $\Delta ABD$ e $\Delta BCD$ temos:

$q^{2}=a^{2}+d^{2}-2.a.d.\cos \widehat{A}$

$q^{2}=b^{2}+c^{2}-2.b.c.\cos \widehat{A}$

Assim:

$(bc+ad)q^{2}=(a^{2}+d^{2})bc+(b^{2}+c^{2})ad=(ab+cd)(ac+bd)$

$q^{2}=\frac{(ab+cd)}{bc+ad}(ac+bd) (1)$

Analogamente:

$p^{2}=\frac{(ad+bc)}{ab+cd}(ac+bd) (2)$

Multiplicando $\left ( 1 \right )$ e $\left ( 2 \right )$ obtemos:

$\large {\color{DarkBlue} p.q=a.c+b.d}$

(c.q.d)

por christian Qui 22 Dez 2011, 20:51

parabens marcos cheers

, vc poderia provar hiparco tb ? sempre tive curiosidade

por rihan Qui 22 Dez 2011, 21:39

Qual de Hiparco ?

por christian Sex 23 Dez 2011, 08:16

a divisao das diagonais
http://pt.wikipedia.org/wiki/Hiparco

por rihan Sex 23 Dez 2011, 10:54

É só dividir a eq. (1) pela (2), ou vice-versa...

$TEOREMA DE PTOLOMEU Gif$

$TEOREMA DE PTOLOMEU Gif$

Wink

por christian Sex 23 Dez 2011, 11:29

mas ta ao quadrado

por rihan Sex 23 Dez 2011, 11:46

Se ele está atrapalhando, e só tirar o quadrado affraid

...

q²/p² = (ab+cd)*(ab+cd)/((ad +bc)(ad+bc))

q²/p² = (ab+cd)²/(ad+bc)²

q/p = (ab+cd)/(ad+bc) Wink

por christian Sex 23 Dez 2011, 12:03

a preguiça de pegar o papel e fazer a conta me leva a eu passar esses constrangimentos as vezes EAUAEHUAEHUAEUHAEUEAUHUAE
obrigado rihan

por **Adeilson** Sex 23 Dez 2011, 13:16

Aproveitando o tópico, aí vai uma interessante demonstração de um dos teoremas mais famosos e importantes da matemática obtido através do Teorema de Ptolomeu!!!
TEOREMA DE PTOLOMEU Pitagoras

por rihan Sex 23 Dez 2011, 14:15

Boaaa Adeílson !!!

Continua mandando muito bem !!! cheers

E christian, aqui não passamos constrangimento, vamos aprendendo uns cons os outros e exercitanto o separador de orelhas :rendeer: !

A você e ao christian, saúde e ótimas festas !

E Vamos Lá !