Combinatória no Rodizio de Pizza

por jamil da silva Dom 04 Fev 2024, 22:54

De quantas maneiras um grupo de amigos pode comer sete pizzas num rodízio que oferece cinco sabores e permite repetir o mesmo sabor no máximo duas vezes?

GABARITO

A) 155
B) 156
C) 157
D) 158

por **Elcioschin** Seg 05 Fev 2024, 12:07

Tens o gabarito. Se sim, a postagem é obrigatória (Regra XI do fórum)

por jamil da silva Seg 05 Fev 2024, 14:50

Elcioschin escreveu:Tens o gabarito. Se sim, a postagem é obrigatória (Regra XI do fórum)

Sim. Vou editar com gabarito . Obrigado !

por **Elcioschin** Seg 05 Fev 2024, 15:13

Sejam A, B, C, D, E os 5 sabores e _ _ as outras 2 pizzas

Podemos ter as repetições:

AA, BB, CC, DD, DE ---> 5 possibilidades

AB, AC, AD, AE
BC, BD, BE
CD, CE
DE

Total de duas repetidas diferentes = 10.C(5, 2) = 10.15 = 150

Total geral = 5 +150 = 155
Total parcai = 15

por jamil da silva Seg 05 Fev 2024, 15:18

Repetir até duas vezes significa que se pode comer até três pizzas do mesmo sabor

por jamil da silva Seg 05 Fev 2024, 17:19

não entendi nada da sua solução. Poderia detalhar mais ?

por jamil da silva Seg 05 Fev 2024, 20:39

Elcioschin escreveu:Sejam A, B, C, D, E os 5 sabores e _ _ as outras 2 pizzas

Podemos ter as repetições:

AA, BB, CC, DD, DE ---> 5 possibilidades

AB, AC, AD, AE
BC, BD, BE
CD, CE
DE

Total de duas repetidas diferentes = 10.C(5, 2) = 10.15 = 150

Total geral = 5 +150 = 155
Total parcai = 15

A resposta está correta, mas o argumento não é esse

por **Vitor Ahcor** Ter 06 Fev 2024, 08:37

Uma ideia:

Sejam os sabores A,B,C,D e E. Buscamos o números de soluções inteiras ñ negativas da equação:

A+B+C+D+E = 7 → C(7+5-1,7)= C(11,7)

Porém, devemos tirar os casos em que A,B,C,D ou E ≥ 4:

(i) A = 4 (ou qualquer outra letra)

B+C+D+E = 3 → C(3+4-1,3)*5 = 5*C(6,3)

(ii) A = 5 (ou qualquer outra letra)

B+C+D+E = 2→ C(2+4-1,2)*5 = 5*C(5,2)

(iii) A = 6 (ou qualquer outra letra)

B+C+D+E = 1→ C(1+4-1,1)*5 = 5*C(4,1)

(iv) A = 7 (ou qualquer outra letra) → 5 soluções

Portanto, a resposta é:

N= C(11,7)-5*(C(6,3) + C(5,2) + C(4,1) + 1)

→ N = 155.

por jamil da silva Ter 06 Fev 2024, 11:54

155 maneiras -- Correto. Muito bom

por **Vitor Ahcor** Ter 06 Fev 2024, 12:01

Tem outro jeito um pouco melhor, ñ é necessário dividir em subcasos. Basta tomar A = 4 + a, assim garantimos que A>=4 na equação:

A+B+C+D+E = 7

→ a+B+C+D+E = 3 → C(7,3) soluções para A, o mesmo para B,C ...

Logo a resposta é simplesmente C(11,7) - 5*C(7,3) = 155.