(IME-1968) - círculos ex-inscritos

por Paulo Testoni Sex 25 Set 2009, 16:19

(IME-1968) – Dado um triângulo isósceles, cujos lados são números inteiros de metros, sabe-se que os raios dos círculos ex-inscritos têm um produto 16 vezes o raio do círculo inscrito. Determinar os lados do triângulo. R= 3, 3, 2.

por **Claudir** Ter 04 Nov 2014, 21:04

São três os círculos ex inscritos ao triângulo. Como é isósceles, temos que dois deles são iguais, portanto:

Dados da questão: ra.ra.rb = 16r (sendo ra e rb os dois raios distintos dos círculos ex inscritos e r o raio do círculo inscrito ao triângulo).

São conhecidas as equações que relacionam cada lado do triângulo aos raios de seus respectivos círculos ex inscrito e inscrito em função do semi-perímetro e da área do triângulo (S), logo:

S = ra.(p - a)
S = ra.(p - a)
S = rb.(p - b)
S = r.p

Multiplicando,

S⁴ = r.ra.ra.rb.[p.(p - a).(p - a).(p - b)]

Por Heron,
S² = p.(p - a).(p - a).(p - b)

logo,
S⁴ = r.ra.ra.rb.S²
S² = r.ra.ra.rb

mas,
ra.ra.rb = 16.r
S² = r.16.r

S = 4.r

S = r.p, logo
r.p = 4.r
p = 4

Só há um triângulo isósceles, de lados inteiros e cujo semi-perímetro seja igual a 4: 3, 3, 2

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