Problema de Divisores do Portal da OBMEP
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Problema de Divisores do Portal da OBMEP
por Rubbensz Ter 30 Jan 2024, 20:46
30.01.2024
20:45:55
Pergunta:
Um concurso oferece um prêmio para cada pergunta respondida corretamente. São 10 perguntas, sendo que, dos 10 prêmios, são 3 bombons iguais, 4 chocolates iguais e 3 pirulitos iguais. De quantas maneiras diferentes
um candidato deste concurso poderá ser premiado?
Gabarito:
Resolver este problema é o mesmo que calcular a quantidade de divisores do número b³ · c⁴ · p³, sendo b, c e p
números primos, ou seja, (3 + 1) · (4 + 1) · (3 + 1) = 80.
Minha resolução:
Sendo 3 bombons, podemos receber: 0, 1, 2 ou 3 bombons → temos 4 possibilidades
Analogamente temos 5 possibilidades para o chocolate e 4 possibilidades para o pirulito. Portanto, no total teremos 4 · 5 · 4 = 80 possibilidades.
Minha dúvida: não entendi a resolução do gabarito, sendo mais especifico, o por quê de conseguirmos encontrar o valor correto (80) calculando a quantidade de divisores do número n = b³ · c⁴ · p³. Como a quantidade de divisores de n se relaciona com a quantidade de possibilidade? O que significa esse valor n?
Agradeço a todos que tentarem me ajudar 
Última edição por Rubbensz em Qua 31 Jan 2024, 19:25, editado 2 vez(es) (Motivo da edição : correção ortogrática.)
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Re: Problema de Divisores do Portal da OBMEP
por Vitor Ahcor Ter 30 Jan 2024, 21:55
Olá,
Veja, b representa os bombons, c os chocolates e p os pirulitos. Uma premiação genérica é representada por bxcypz sendo x≤3 , y ≤4 e z ≤3 com x,y,z ∈ ℕ. Logo, N=b3c4z3 é um múltiplo de toda premiação recebida por um candidato. Ou seja, para calcular o número de premiações possíveis, basta calcularmos o número de divisores de N, pois cada divisor representa uma premiação.
Veja, b representa os bombons, c os chocolates e p os pirulitos. Uma premiação genérica é representada por bxcypz sendo x≤3 , y ≤4 e z ≤3 com x,y,z ∈ ℕ. Logo, N=b3c4z3 é um múltiplo de toda premiação recebida por um candidato. Ou seja, para calcular o número de premiações possíveis, basta calcularmos o número de divisores de N, pois cada divisor representa uma premiação.
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Re: Problema de Divisores do Portal da OBMEP
por Rubbensz Qua 31 Jan 2024, 19:03
"Uma premiação genérica é representada por bxcypz sendo" Por que posso representar uma premiação genérica como esse produto? Parece muito decidido sem motivo para mim.Vitor Ahcor escreveu:Olá,
Veja, b representa os bombons, c os chocolates e p os pirulitos. Uma premiação genérica é representada por bxcypz sendo x≤3 , y ≤4 e z ≤3 com x,y,z ∈ ℕ. Logo, N=b3c4z3 é um múltiplo de toda premiação recebida por um candidato. Ou seja, para calcular o número de premiações possíveis, basta calcularmos o número de divisores de N, pois cada divisor representa uma premiação.
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Re: Problema de Divisores do Portal da OBMEP
por Vitor Ahcor Qua 31 Jan 2024, 19:19
Perceba que é só uma notação.
Talvez assim facilite: troque a representação do bombom por uma ficha com o número 2 inscrito, o chocolate por uma ficha com o número 3 e o pirulito por uma ficha com o número 5. Então toda premiação é da forma 2^x 3^y 5^z.
É necessário que os números das fichas sejam primos entre si pois não há correlação entre os doces,talvez com exceção da alta quantidade de açúcar.
Talvez assim facilite: troque a representação do bombom por uma ficha com o número 2 inscrito, o chocolate por uma ficha com o número 3 e o pirulito por uma ficha com o número 5. Então toda premiação é da forma 2^x 3^y 5^z.
É necessário que os números das fichas sejam primos entre si pois não há correlação entre os doces,
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