Multiplicadores de Lagrange
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Multiplicadores de Lagrange
por JOAODESOUSALUZ Sex 26 Jan 2024, 15:44
Encontre as dimensões de uma caixa retangular de volume V, sem tampa, que minimizam os custos de sua construção, sabendo que o material da base custa um terço do das paredes laterais(por unidade de área).(Resposta: (6V)[latex]^{\frac{1}{3}}[/latex], (6V)[latex]^{\frac{1}{3}}[/latex], (V/36)[latex]^{\frac{1}{3}}[/latex])
Última edição por JOAODESOUSALUZ em Sex 26 Jan 2024, 19:56, editado 1 vez(es)
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Re: Multiplicadores de Lagrange
por Vitor Ahcor Sex 26 Jan 2024, 16:09
Sejam x,y as dimensões da base e h a altura da caixa, então h=V/(xy). Sendo k uma constante que representa o custo por unidade de área, o valor da caixa fica:
f(x,y) = k*área_lateral + k/3*área_baixo
f(x,y)=k(2V/x + 2V/y+ xy/3)
Daí, ∇f = k*(-2V/x² + y/3 , -2V/y² + x/3)
Resolvendo para ∇f = 0 vem x = y = (6V)1/3 , além disso h = V/(xy) = (V/36)1/3 .
obs: também é necessário verificar as condições ∂2f/∂x² > 0 e det(H) > 0 para garantir que é um ponto de mínimo, mas deixo essa parte para vc.
f(x,y) = k*área_lateral + k/3*área_baixo
f(x,y)=k(2V/x + 2V/y+ xy/3)
Daí, ∇f = k*(-2V/x² + y/3 , -2V/y² + x/3)
Resolvendo para ∇f = 0 vem x = y = (6V)1/3 , além disso h = V/(xy) = (V/36)1/3 .
obs: também é necessário verificar as condições ∂2f/∂x² > 0 e det(H) > 0 para garantir que é um ponto de mínimo, mas deixo essa parte para vc.
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