Produtos notáveis.

por gsr_principiamathematica Qua 27 Dez 2023, 22:17

Se [latex]a+b+c=5 [/latex]
[latex]a^{2}+b^{2}+c^{2}=8[/latex]

[latex]a^{3}+b^{3}+c^{3}=9[/latex]

Calcule [latex]k=\frac{abc}{ab+ac+bc}[/latex].

por **Giovana Martins** Qua 27 Dez 2023, 23:45

A ideia não é minha. Não darei os créditos, pois eu não lembro onde eu aprendi esse método.

Seja P(θ) = θ³ - uθ² + vθ - z = 0 e a, b e c as raízes de P(θ).

Por Girard: a + b + c = u = 5.

Do algebrismo:

(a + b + c)² - 2(ab + ac + bc) = a² + b² + c²

(5)² - 2v = 8, logo, v = 8,5.

Do polinômio P(θ), dado que P(θ = a) = P(θ = b) = P(θ = c) = 0:

a³ - ua² + va - z = 0

b³ - ub² + vb - z = 0

c³ - uc² + vc - z = 0

Somando as igualdades:

a³ + b³ + c³ - u(a² + b² + c²) + v(a + b + c) - 3z = 0

9 - 5 . 8 + 8,5 . 5 - 3z = 0, logo, z = 23/6.

Portanto, podemos escrever P(θ) como:

P(θ) = θ³ - 5θ² + 8,5θ - (23/6)

Por Girard novamente:

abc = 23/6

ab + ac + bc = 8,5

Logo, k = 23/51.

Confira as continhas.

Re: Produtos notáveis.