Geometria analítica

O ponto (1,-1) é o centro de um quadrado. Um de seus lados está sobre a reta x-2y+12=0. Determine todos os vértices do quadrado.

Seja P(1, -1) o centro do quadrado e M o pé da perpendicular de P sobre r

x - 2.y + 12 = 0 ---> y = (1/2).x + 6 ---> coeficiente angular: m = 1/2

Coeficiente angular da reta PM ---> m' = - 2

Equação da reta PM ---> y - (-1) = - 2.(x - 1) --> y = - 2.x + 1 

Coordenadas ponto M --> (1/2).xM + 6 = - 2.xM + 1 --> *2 --> xM + 12 = - 4.xM + 2 --> xM = - 2

yM = - 2.xM +1 ---> yM = 5 ---> M(-2, 5)

DM é a metade do lado do quadrado ---> Calcule DM e complete

Calculando o lado \(L\) do quadrado:
\[
\frac{L}{2} = \frac{| 1 - 2 \cdot (-1) +12 | }{\sqrt{1^2 + (-2)^2} } = \frac{15}{\sqrt{5}} \implies L = 6\sqrt{5}
\]
Vamos descobrir a outra reta paralela a \( x - 2y +12 = 0 \). Ela é da forma \(x-2y + k\). A distância desta reta ao centro é \( \frac{L}{2}\).
\[
\frac{| 1 + (-1)(-2) + k|}{\sqrt{(1)^2 + (-2)^2}} = 3 \sqrt{5} \implies |k+3| = 15 \Leftrightarrow k = -18 \ \lor \ k = 12
\]
Assim, \( k = -18\).
O centro do quadrado é ponto médio para quaisquer dois vértices de duas retas paralelas tomadas duas a duas. Sendo assim, vamos considerar \(P_1 = (x_1,y_1) \) da reta \(r_1 : \ x - 2y + 12 = 0\) e \(P_2 = (x_2,y_2) \) da reta \(r_2 : \ x - 2y - 18= 0\). Assim, \(x_1 = 2y_1 - 12 \) e \( x_2 = 2y_2 + 18\). Tomando o ponto médio de \( (1,-1)\) com relação à abscissa:
\[
1 = \frac{2y_1 -12 + 2y_2 + 18}{2} = y_1 + y_2 + 3 \implies y_2 = -y_1 -2
\]
Sabemos que \(d(P_1, P_2) \) é a diagonal do quadrado, e, portanto, tal distância vale \(L \sqrt{2} = 6 \sqrt{10} \).
\[
\begin{aligned}
d (P_1, P_2) & = \sqrt{ (x_2- x_1)^2 + (y_2- y_1)^2 } \\
& = \sqrt{ (2y_2 +18 - 2y_1 +12 )^2 + (y_2 -y_1)^2 } \\
& = \sqrt{ 4(y_2 - y_1 + 15)^2 + (y_2 - y_1)^2 }
\end{aligned}
\]
Seja \(t = y_2 - y_1\). Logo, \( 360 = 4(t+15)^2 + t^2 =  5t^2 + 120t + 900 \Leftrightarrow t^2 + 24t + 108 = 0 \)
\[
y_2 - y_1 = t = -12 \pm \sqrt{144 - 108} = - 12 \pm 6
\]
\[
 y_2 = y_1 - 6 \ \lor \ y_2 = y_1 - 18, \quad y_2 = -2 - y_1 \implies (y_1 = 2 \ \lor \ y_1 = \implies (y_2 = -4 \ \lor \ y_2 = -10)
\]
Assim, \(x_1 = 2y_1 - 12 = -8 \ \lor \ x_1 = 4 \) e \( x_2 = 2y_2 + 18 = 10 \ \lor \ x_2 = -2\).

Finalmente, os vértices do quadrado são: \( (-8, 2), ( 4, , (10, -4), (-2, -10) \).

O ponto (1,-1) é o centro de um quadrado. Um de seus lados está sobre a reta x-2y+12=0. Determine todos os vértices do quadrado.

Outro modo, usando vetor e seu equivalente em complexo.
Simbologia: vetores em negrito.


P(1, -1) = baricentro do quadrado
r:  x - 2y + 12 = 0  --->  y = x/2 + 6  ..................(1)

distância de P a r:

ângulo [latex]\angle {MPA}=45^{\circ}[/latex], por Pitágoras MA = PM = d
esta eq. quadrática também nos fornece o segundo ponto mas vou desprezar para obtê-lo de outra forma.

u = A - P = (4, 8) - (1, -1)  ----->  u = (3, 9) = 3 + 9i
v = i.u = -9 + 3i  ----->  v = (-9, 3)