IME e o perímetro

(IME-94/95) Três círculos de mesmo raio “R” se interceptam dois a dois, como é mostrado na figura abaixo, constituindo três áreas comuns que formam um trevo. Determine o perímetro do trevo e sua área em função de “R” e da área “S” do
triângulo IJK.

Gabarito: 2∏R e ∏R² - 2S


Boa noite, senhores(a). Poderiam me ajudar? Eu vi uma solução na internet, mas não entendi. Será que alguém poderia me explicar o raciocínio dessa questão, por gentileza?

Carlos Heitor (EPCAr) escreveu:(IME-94/95) Três círculos de mesmo raio “R” se interceptam dois a dois, como é mostrado na figura abaixo, constituindo três áreas comuns que formam um trevo. Determine o perímetro do trevo e sua área em função de “R” e da área “S” do
triângulo IJK.

Boa noite, senhores(a). Poderiam me ajudar? Eu vi uma solução na internet, mas não entendi. Será que alguém poderia me explicar o raciocínio dessa questão, por gentileza?

[latex]\\ L_{(T)} =2\alpha R+2\beta R+ 2\theta R = 2R(\alpha +\beta + \theta)\\ \triangle KIJ: \alpha+\beta+\theta = \pi \implies \boxed{L=2R\pi}\\ S_{(T)}=2 S_{(seg.K'O)}+2 S_{(seg.J'O)}+2 S_{(seg.I'O)}=\\ \therefore \underline{S_{(T)} = 2(S_{(seg.K'O)}+ S_{(seg.J'O)}+ S_{(seg.I'O)})}\\ S_{(seg.K'O)}=S_{(set.K'O)}-S_{\triangle JK'O}=\frac{\pi R^2.\alpha}{2\pi}-S_{\triangle JK'O}\\ \therefore S_{(segK'O)}= \frac{R^2\alpha}{2}-S_{\triangle JK'O}\\ Analogamente:\\S_{(segJ'O)}= \frac{R^2\theta}{2}-S_{\triangle KJ'O}\\\\ \underline{S_{(segI'O)}= \frac{R^2\beta}{2}-S_{\triangle JI'O}}\\ \therefore S_T=2(\frac{R^2\alpha}{2}-S_{\triangle JK'O}+\frac{R^2\beta}{2}-S_{\triangle JI'O}+\frac{R^2\theta}{2}-S_{\triangle KJ'O})=\\ R^2(\underbrace{\alpha+\beta+\theta})-(2S_{\triangle JK'O}+2S_{\triangle JI'O}+2S_{\triangle KJ'O})=\\ R^2\pi- 2S_{\triangle JIO}+2_{\triangle KJO}+2_{\triangle KIO}=\pi R^2-2S_{\underbrace{\triangle KIJ}_{S}}\\ \therefore \boxed{S_T=\pi R^2-2S}[/latex]

petras escreveu:

Carlos Heitor (EPCAr) escreveu:(IME-94/95) Três círculos de mesmo raio “R” se interceptam dois a dois, como é mostrado na figura abaixo, constituindo três áreas comuns que formam um trevo. Determine o perímetro do trevo e sua área em função de “R” e da área “S” do
triângulo IJK.

Boa noite, senhores(a). Poderiam me ajudar? Eu vi uma solução na internet, mas não entendi. Será que alguém poderia me explicar o raciocínio dessa questão, por gentileza?

[latex]\\ L_{(T)} =2\alpha R+2\beta R+ 2\theta R = 2R(\alpha +\beta + \theta)\\ \triangle KIJ: \alpha+\beta+\theta = \pi \implies \boxed{L=2R\pi}\\ S_{(T)}=2 S_{(seg.K'O)}+2 S_{(seg.J'O)}+2 S_{(seg.I'O)}=\\ \therefore \underline{S_{(T)} = 2(S_{(seg.K'O)}+ S_{(seg.J'O)}+ S_{(seg.I'O)})}\\ S_{(seg.K'O)}=S_{(set.K'O)}-S_{\triangle JK'O}=\frac{\pi R^2.\alpha}{2\pi}-S_{\triangle JK'O}\\ \therefore S_{(segK'O)}= \frac{R^2\alpha}{2}-S_{\triangle JK'O}\\ Analogamente:\\S_{(segJ'O)}= \frac{R^2\theta}{2}-S_{\triangle KJ'O}\\\\ \underline{S_{(segI'O)}= \frac{R^2\beta}{2}-S_{\triangle JI'O}}\\ \therefore S_T=2(\frac{R^2\alpha}{2}-S_{\triangle JK'O}+\frac{R^2\beta}{2}-S_{\triangle JI'O}+\frac{R^2\theta}{2}-S_{\triangle KJ'O})=\\ R^2(\underbrace{\alpha+\beta+\theta})-(2S_{\triangle JK'O}+2S_{\triangle JI'O}+2S_{\triangle KJ'O})=\\ R^2\pi- 2S_{\triangle JIO}+2_{\triangle KJO}+2_{\triangle KIO}=\pi R^2-2S_{\underbrace{\triangle KIJ}_{S}}\\ \therefore \boxed{S_T=\pi R^2-2S}[/latex]

Bom dia, mestre Petras. O senhor poderia, por gentileza, dizer-me o que o senhor quis se referir com "L(t)"? E de onde você conseguiu essa primeira igualdade com o "L(t)"? Agradeço.

L(t) = Soma dos comprimentos dos arcos = Perímetro do trevo. (L geralmente utilizamos para comprimento)
Veja que teremos 6 arcos  iguais 2 a 2
A fórmula do arco é o Ângulo central compreendio por ele x raio
Portanto somando o comprimento dos 6 arcos cjhegamos a igualde que vocÊ mencionou