Conservação do Momento Angular

por Zeroberto Sex 28 Jul 2023, 21:28

Um satélite é visto gravitando em torno da terra em órbita circular de raio R e velocidade \(V_0\). Uma partícula é lançada do satélite na mesma direção e sentido do movimento dele com velocidade V em relação ao satélite dada por \(V = (\frac{\sqrt5}{2}-1)V_0\).
Calcule a máxima e a mínima distância entre essa partícula e o centro da Terra no seu movimento subsequente.

Gab: \(R\) e \(\frac{5R}{3}\)

por **Giovana Martins** Qui 03 Ago 2023, 22:11

Roberto, veja se você consegue entender. Se não for possível, me avise que aí eu posto um desenho que eu fiz aqui para resolver o problema. É que eu estou pelo celular, daí fica meio ruim para eu postar esse desenho.

Roberto, acredito que seja isto: ao ser lançada, a velocidade relativa da partícula em relação ao satélite será dada por V_Partícula - V_Satélite, pois a partícula foi lançada na mesma direção e sentido que a trajetória do satélite. Pelo enunciado, esta diferença, isto é, esta velocidade relativa é dada por V, tal que:

[latex]\\\mathrm{V_{Relativa}=V_{Particula}-V_{Sat\acute{e}lite}=V=\left ( \frac{\sqrt{5}}{2}-1 \right ) V_0\ (i)}[/latex]

Dado que a velocidade do satélite é dada por V₀, de (i) tem-se:

[latex]\\\mathrm{V_{Particula}=\left ( \frac{\sqrt{5}}{2}-1 \right )V_0+V_0=\frac{V_0\sqrt{5}}{2}}[/latex]

Da conservação do momento angular:

[latex]\\\mathrm{M_{Particula}V_{Particula}a=M_{Particula}V_{Particula}'b\to V_{Particula}'=\frac{V_0a\sqrt{5}}{2b}\ (ii)}[/latex]

Da conservação da energia e de (ii):

[latex]\\\mathrm{\frac{M_{Particula}(V_{Particula}')^2}{2}-\frac{GM_{Terra}M_{Particula}}{b}=\frac{M_{Particula}V_{Particula}^2}{2}-\frac{GM_{Terra}M_{Particula}}{a}}\\\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{5V_0^2a^2}{8b^2}-\frac{GM_{Terra}}{b}=\frac{5V_0^2}{8}-\frac{GM_{Terra}}{a}\ (iii)}[/latex]

Agora, como eliminar esse numerador GM_Terra? Bom, irei partir do conceito da velocidade orbital. Como o enunciado nos diz que o satélite descreve uma trajetória circular, tem-se que V₀ é dada por:

[latex]\mathrm{F_C=F_G\to \frac{M_{Sat\acute{e}lite}V_0^2}{a}=\frac{GM_{Terra}M_{Sat\acute{e}lite}}{a^2}\ \therefore\ V_0=\sqrt{\frac{GM_{Terra}}{a}}\ (iv)}[/latex]

De (iii) e (iv):

[latex]\mathrm{3b^2-8ab+5a^2=0\ \therefore\ b=a\ ou\ b=\frac{5a}{3}}[/latex]

por Zeroberto Sex 04 Ago 2023, 19:30

Olá, Giovana! Desculpe a demora, estou sem meu computador, e só agora entrei pelo celular.

Muito obrigado pela resolução, entendi perfeitamente e achei meu erro. Não me toquei quanto ao detalhe da velocidade relativa. Achei que, por estar no espaço, as velocidades dadas já estavam no mesmo referencial (muito acostumado a trabalhar velocidade relativa só com o referencial da terra kkkk).

Agradeço muito pela resolução e pela ajuda!

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