Distâncias entre pontos

Numa gincana, um objeto é escondido num ponto E, equidistante de 3 árvores, A, B e C, sendo AB=6 m, BC=8m e AC 10 m. Para localizar o objeto, um participante considerou a árvore B como origem de um sistema ortogonal de eixos, de segmento unitário 1 m, e a árvore C como um ponto de um dos eixos. Uma possibilidade para as coordenadas do ponto E é:

A) (5, 3)

B) (4, 2)

C) (4,3)

D) (3.6)

E) (3.3)






Gabarito: (4,3)

Boa noite.

B = (0,0)
C = (8,0)

dAB² = xA² + yA² = 6² = 36
dCA² = (xA - ² + yA² = 10² = 100

Assim, yA² = 36 - xA². Substituindo na segunda equação:

(xA - ² + 36 - xA² = 100

-16xA + 64 + 36 = 100

xA = 0
yA = 6

A = (0, 6)

Agora, vamos encontrar as coordenadas de E. Temos as seguintes equações que devem ser satisfeitas.

dBE = dAE ... (1)
dBE = dCE ... (2)
dAE = dCE ... (3)

(1): xE² + yE² = xE² + (yE - 6)²
(2): xE² + yE² = (xE - ² + yE²
(3): xE² + (yE - 6)² = (xE - ² + yE²

Da equação (1):

yE² = (yE - 6)²

0 = -12yE + 36

yE = 3

Da equação (2):

xE² = (xE - ²

0 = -16xE + 64

xE = 4

Assim, E = (4, 3).

Verificando se (3) é satisfeita:

4² + (3 - 6)² = (4 - ² + 3²

16 + 9 = 16 + 9

25 = 25 (ok)

Portanto, E = (4,3).

(Há outra forma de fazer, já que é um triângulo retângulo, mas não estou conseguindo colocar a imagem, se conseguir edito a resposta. Mas basicamente, AC é a hipotenusa do triângulo ABC e E é o ponto médio da hipotenusa nessa ocasião, o que torna os cálculos muito mais simples).

Falhei (talvez seja o sono, hoje o dia foi mais cansativo que o normal). Mas vou deixar uma descrição breve, talvez você consiga visualizar.

Fazendo a projeção de E sobre o eixo x, ele toca o cateto BC no seu ponto médio, logo xE = 8 / 2 = 4. Além disso, por ser o ponto médio da hipotenusa, de comprimento 10, pelo triângulo retângulo destacado (ECE', onde E' é a projeção de E sobre o eixo x), yE = 3.