QUESTÃO DE TAXA RELACIONADA
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QUESTÃO DE TAXA RELACIONADA
por Offmano123 Seg 19 Jun 2023, 11:28
Um triângulo variável ABC é formado por lados com tamanho fixo AB = 3 cm e AC = 4 cm e com o lado de tamanho variável BC. Se no instante que BC= 5 cm, o lado BC varia com uma taxa de 3 cm/s. Determine a taxa de variação do ângulo interno no vértice A do triângulo.
RESPOSTA DO PROFESSOR: 5/4 rad/s.
MINHA SOLUÇÃO:
Por Lei dos Cossenos, temos que:
[latex](BC)^{2} = (AC)^{2} + (AB)^{2} - 2(AB)(AC)(\cos \alpha ) [/latex]
Derivando ambos os lados em relação a t, temos:
[latex]2(BC)\cdot \frac{\mathrm{d}(BC) }{\mathrm{d} t}= (4)^{2} + (3)^{2} - 2(3)(4)(-\sin\alpha)\cdot \frac{\mathrm{d}(\alpha)}{\mathrm{d} t} [/latex]
[latex]\frac{\mathrm{d}(\alpha)}{\mathrm{d} t}= \frac{5}{24(\sin (\alpha ))} [/latex]
RESPOSTA DO PROFESSOR: 5/4 rad/s.
MINHA SOLUÇÃO:
Por Lei dos Cossenos, temos que:
[latex](BC)^{2} = (AC)^{2} + (AB)^{2} - 2(AB)(AC)(\cos \alpha ) [/latex]
Derivando ambos os lados em relação a t, temos:
[latex]2(BC)\cdot \frac{\mathrm{d}(BC) }{\mathrm{d} t}= (4)^{2} + (3)^{2} - 2(3)(4)(-\sin\alpha)\cdot \frac{\mathrm{d}(\alpha)}{\mathrm{d} t} [/latex]
=
[latex]\frac{\mathrm{d}(\alpha)}{\mathrm{d} t}= \frac{5}{24(\sin (\alpha ))} [/latex]
ACHO QUE MEU PRÓXIMO ARGUMENTO ESTÁ ERRADO, MAS VAMOS LÁ:
Se o triângulo ABC. AB=3 ; AC=4 ; BC = 5 é pitagórico, como o ângulo interno de A é 90º, e
[latex]\sin (\alpha ) = 1 = \frac{pi}{2}[/latex]
Então,
[latex]\frac{\mathrm{d}(\alpha)}{\mathrm{d} t}= \frac{5}{24(\frac{pi}{2}))}[/latex]
=
[latex]\frac{\mathrm{d}(\alpha)}{\mathrm{d} t}= \frac{5}{12} rad/s[/latex]
Offmano123- Iniciante
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Re: QUESTÃO DE TAXA RELACIONADA
por Elcioschin Seg 19 Jun 2023, 12:48
BC² = (AC)² + (AB)² - 2.AB.AC.cosα
BC² = 4² + 3² - 2.4.3.cosα ---> BC² = 25 - 24.cosα ---> Derivando:
2.BC.d(BC)/dt = (d/dt)(25) - (d/dt)(24.cosα)
2.5.3 = 0 - 24.(-senα).dα/dt ---> dα/dt = 30/24 ---> dα/dt = 5/4 rad/s
BC² = 4² + 3² - 2.4.3.cosα ---> BC² = 25 - 24.cosα ---> Derivando:
2.BC.d(BC)/dt = (d/dt)(25) - (d/dt)(24.cosα)
2.5.3 = 0 - 24.(-senα).dα/dt ---> dα/dt = 30/24 ---> dα/dt = 5/4 rad/s
Elcioschin- Grande Mestre
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Offmano123 gosta desta mensagem
Re: QUESTÃO DE TAXA RELACIONADA
por Offmano123 Seg 19 Jun 2023, 13:04
Elcioschin escreveu:BC² = (AC)² + (AB)² - 2.AB.AC.cosα
BC² = 4² + 3² - 2.4.3.cosα ---> BC² = 25 - 24.cosα ---> Derivando:
2.BC.d(BC)/dt = (d/dt)(25) - (d/dt)(24.cosα)
2.5.3 = 0 - 24.(-senα).dα/dt ---> dα/dt = 30/24 ---> dα/dt = 5/4 rad/s
Obrigado, mestre! Então o argumento do triângulo pitagórico está correto, pois o senhor considerou sin α = 1 , certo?
Obrigado pela atenção!
Offmano123- Iniciante
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