Provar limites/derivada

Para t = 0 o valor 1/t não é definido, nos reais (denominador não pode ser nulo).

Logo a função não existe para este valor

Então, Mestre, eu concordo com o que falou. Porém, apenas com essa definição de que denominador não pode ser nulo não seria suficiente pra provar, sabe ? Seria uma coisa mais "rebuscada".

Prove que a função f(t) = 2t.sen(1/t) - cos(1/t) não é contínua em t = 0.


[latex] f(t) =  2t \sin\left(\dfrac{1}{t}\right) -\cos\left(\dfrac{1}{t}\right)[/latex]


0 não está no domínio da função, portanto a função não é contínua em 0. QED.


A definição de continuidade depende de f estar definida no ponto (se a sua definição for diferente, compartilhe-a conosco).


Vamos mostrar que o limite [latex] \lim_{t\to 0} f(t) [/latex] não existe.




[latex] \lim_{t\to 0} f(t)  = \lim_{t\to 0}  2t \sin\left(\dfrac{1}{t}\right) -\cos\left(\dfrac{1}{t}\right) = \lim_{t\to 0}  2t \sin\left(\dfrac{1}{t}\right) - \lim_{t\to 0} \cos\left(\dfrac{1}{t}\right) [/latex]

O primeiro limite é zero pelo teorema do confronto (teorema do sanduiche).

Agora [latex]\lim_{t\to 0} \cos\left(\dfrac{1}{t}\right) =\lim_{k\to \infty} \cos\left(\dfrac{1}{\frac{1}{2k\pi}}\right)   = 1[/latex] e [latex]\lim_{t\to 0} \cos\left(\dfrac{1}{t}\right) =\lim_{k\to \infty} \cos\left(\dfrac{1}{\frac{1}{2k\pi+\frac{\pi}{2}}}\right)   = 0[/latex].
Portanto o limite não existe.

Explicação excelente!
Muito obrigado.

tales amaral escreveu:Prove que a função f(t) = 2t.sen(1/t) - cos(1/t) não é contínua em t = 0.


[latex] f(t) =  2t \sin\left(\dfrac{1}{t}\right) -\cos\left(\dfrac{1}{t}\right)[/latex]


0 não está no domínio da função, portanto a função não é contínua em 0. QED.


A definição de continuidade depende de f estar definida no ponto (se a sua definição for diferente, compartilhe-a conosco).


Vamos mostrar que o limite [latex] \lim_{t\to 0} f(t) [/latex] não existe.




[latex] \lim_{t\to 0} f(t)  = \lim_{t\to 0}  2t \sin\left(\dfrac{1}{t}\right) -\cos\left(\dfrac{1}{t}\right) = \lim_{t\to 0}  2t \sin\left(\dfrac{1}{t}\right) - \lim_{t\to 0} \cos\left(\dfrac{1}{t}\right) [/latex]

O primeiro limite é zero pelo teorema do confronto (teorema do sanduiche).

Agora [latex]\lim_{t\to 0} \cos\left(\dfrac{1}{t}\right) =\lim_{k\to \infty} \cos\left(\dfrac{1}{\frac{1}{2k\pi}}\right)   = 1[/latex] e [latex]\lim_{t\to 0} \cos\left(\dfrac{1}{t}\right) =\lim_{k\to \infty} \cos\left(\dfrac{1}{\frac{1}{2k\pi+\frac{\pi}{2}}}\right)   = 0[/latex].
Portanto o limite não existe.

Tales, amigo, desculpe a minha ignorância, mas poderia me explicar o que fez na hora de resolver o limite de cosseno ?

JohnnyC escreveu:

tales amaral escreveu:Prove que a função f(t) = 2t.sen(1/t) - cos(1/t) não é contínua em t = 0.


[latex] f(t) =  2t \sin\left(\dfrac{1}{t}\right) -\cos\left(\dfrac{1}{t}\right)[/latex]


0 não está no domínio da função, portanto a função não é contínua em 0. QED.


A definição de continuidade depende de f estar definida no ponto (se a sua definição for diferente, compartilhe-a conosco).


Vamos mostrar que o limite [latex] \lim_{t\to 0} f(t) [/latex] não existe.




[latex] \lim_{t\to 0} f(t)  = \lim_{t\to 0}  2t \sin\left(\dfrac{1}{t}\right) -\cos\left(\dfrac{1}{t}\right) = \lim_{t\to 0}  2t \sin\left(\dfrac{1}{t}\right) - \lim_{t\to 0} \cos\left(\dfrac{1}{t}\right) [/latex]

O primeiro limite é zero pelo teorema do confronto (teorema do sanduiche).

Agora [latex]\lim_{t\to 0} \cos\left(\dfrac{1}{t}\right) =\lim_{k\to \infty} \cos\left(\dfrac{1}{\frac{1}{2k\pi}}\right)   = 1[/latex] e [latex]\lim_{t\to 0} \cos\left(\dfrac{1}{t}\right) =\lim_{k\to \infty} \cos\left(\dfrac{1}{\frac{1}{2k\pi+\frac{\pi}{2}}}\right)   = 0[/latex].
Portanto o limite não existe.

Tales, amigo, desculpe a minha ignorância, mas poderia me explicar o que fez na hora de resolver o limite de cosseno ?

[latex]\lim_{t\to 0} \cos\left(\dfrac{1}{t}\right) =\lim_{k\to \infty} \cos\left(\dfrac{1}{\frac{1}{2k\pi}}\right)   = 1[/latex]

Se [latex]t = \dfrac{1}{2k\pi} [/latex], temos [latex]t \to 0\implies k \to \infty[/latex].

Agora [latex] \lim_{k\to \infty} \cos\left(\dfrac{1}{\frac{1}{2k\pi}}\right)   =  \lim_{k\to \infty} \cos\left(2k\pi \right) =  \lim_{k\to \infty} \cos\left(0 \right) = 1 [/latex]

Eu recomendo você dar uma olhada no capitulo 4.4 do guidorizzi, pois ele fala exatamente disso lá.

ajudou muito, amigo! Novamente, muito obrigado pela ajuda