Exercício

Uma cultura de bactérias cresce naturalmente a uma taxa proporcional à quantidade de bactérias presentes. Ao fim de 10 minutos , o número de bactérias cresceu 3%.

Determine o tempo que a cultura levará para duplicar o número inicial de bactérias.

taxa proporcional à quantidade de bactérias presentes:

\(\dfrac {dQ}{dt} = \lambda Q \implies Q = c \cdot e^{\lambda t}\)

onde Q é a quantidade de bactérias, t o tempo (em minutos) e λ é uma constante maior que 0. O número de bactérias cresceu 3% em 10 minutos. Daí

\(Q(10) = 1,03\cdot Q(0) \implies c \cdot e^{10 \lambda} = 1,03c \implies \boxed{e^{10 \lambda} = 1,03}\)

Sendo t o tempo para duplicar temos:

\(Q(t) = 2Q(0) \implies c \cdot e^{\lambda t} = 2 c \implies \left( e^{10 \lambda} \right)^{t/10} =2 \implies 1,03^{t/10} = 2 \implies \boxed{ t = 10\dfrac{\ln 2}{\ln 1,03}}\)