TEORIA DE ANEIS
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TEORIA DE ANEIS
por renansampaio0711 Seg 27 Mar 2023, 12:17
alguem pode me ajudar com um exercício? segue:
Seja D um domínio de integridade e a,b em D. suponha que existam inteiros positivos m,n com mdc(m,n)=1 tais que a^m=b^n e a^n=b^n. mostre que a=b.
Seja D um domínio de integridade e a,b em D. suponha que existam inteiros positivos m,n com mdc(m,n)=1 tais que a^m=b^n e a^n=b^n. mostre que a=b.
renansampaio0711- Iniciante
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Re: TEORIA DE ANEIS
por DaoSeek Seg 27 Mar 2023, 15:17
Vou supor que era pra ser a^m = b^m no enunuciado.
Seja F o corpo de frações de D. Como mdc(m,n) = 1 existe inteiros x,y tais que mx + ny = 1. Logo, em F temos
\(a = a^{mx+ny} = (a^m)^x \cdot (a^n)^y = (b^m)^x \cdot (b^n)^y = b^{m+ny} = b\)
Portanto, a=b em D
Seja F o corpo de frações de D. Como mdc(m,n) = 1 existe inteiros x,y tais que mx + ny = 1. Logo, em F temos
\(a = a^{mx+ny} = (a^m)^x \cdot (a^n)^y = (b^m)^x \cdot (b^n)^y = b^{m+ny} = b\)
Portanto, a=b em D
DaoSeek- Jedi
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