teoria de aneis
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teoria de aneis
por renansampaio0711 Qui 16 Mar 2023, 18:31
Alguém pode me ajudar nessa questões?
Seja R um anel. Se x e y são nilpotentes em R tais que xy=yx, mostre que (x+y) é nilpotente.
mostre também, que (1-x) e (1+x) são inversíveis em determine uma fórmula para seus inversos, sabendo que x é nilpotente.
Seja R um anel. Se x e y são nilpotentes em R tais que xy=yx, mostre que (x+y) é nilpotente.
mostre também, que (1-x) e (1+x) são inversíveis em determine uma fórmula para seus inversos, sabendo que x é nilpotente.
renansampaio0711- Iniciante
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Re: teoria de aneis
por DaoSeek Qui 16 Mar 2023, 19:51
Como x,y comutam vc pode desenvolver (x+y)k usando o teorema binomial. Daí supondo que xm = yn = 0, é só tomar k grande o suficiente (basta que k seja maior ou igual a m+n - 1), que todos os termos da expansão irão ser nulos.
Pra outra pergunta basta fatorar. Se xm = 0, então:
Para qualquer m:
1 = 1 - xm = (1-x)(1+x+x²+...+xm-1)
Se m for ímpar:
1 = 1+xm = (1+x)(1-x+x²-x³+ ... -xm-2 + xm-1)
Se m for par:
1 = 1-xm = (1+x)(1-x)(1+x²+x⁴+...+xm-2)
Pra outra pergunta basta fatorar. Se xm = 0, então:
Para qualquer m:
1 = 1 - xm = (1-x)(1+x+x²+...+xm-1)
Se m for ímpar:
1 = 1+xm = (1+x)(1-x+x²-x³+ ... -xm-2 + xm-1)
Se m for par:
1 = 1-xm = (1+x)(1-x)(1+x²+x⁴+...+xm-2)
DaoSeek- Jedi
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