Circunferência com os dados em P.A.

por gabeieiel Sáb 25 Mar 2023, 20:45

Boa noite a todos. Não sei como se resolve esta questão:

Os números que indicam a medida do raio de uma circunferência, a abcissa de seu centro, a ordenada de seu centro e o coeficiente angular de uma reta t que, além de passar pela origem do sistema, passa também pelo ponto P(1, 1), formam, nessa ordem, uma P.A. Sabendo-se que a soma dos termos da P.A. é 28, determine a distância do centro da circunferência à reta t.

Alguém poderia me ajudar?

por **Giovana Martins** Sáb 25 Mar 2023, 22:07

Penso que seja isto.

Seja R o raio da circunferência cujo centro é dado por C(a,b).

Seja a reta t: y = mx + n. Do enunciado O(0,0), P(1,1) ∈ t. Deste modo, tem-se t: y = x.

Sendo y = x, tem-se que m = 1.

Pelo enunciado (R, a, b, m) = (R, a, b, 1) formam uma P. A. tal que R + a + b + 1 = 28, isto é, R + a + b = 27.

Para uma P. A. de quatro termos vale a igualdade (R, a, b, m) = (x, x + r, x + 2r, x + 3r).

Então: R + a + b = x + x + r + x + 2r = 3(x + r) = 3a = 27, ou seja, a = 9.

Se a = 9, tem-se que R + b = 18 e nossa sequência passa a ser (R, a, b, m) = (R, 9, b, 1).

Como estamos lidando com uma P. A., é válida a igualdade: 2b = 9 + 1, logo, b = 5.

Sendo (R, a, b, m) = (R, 9, 5, 1), é fácil concluir que R = 13.

Então temos (x - 9)² + (y - 5)² = 169, isto é, C(9,5) e R = 13, além de t: y = x.

A distância de C(9,5) até t: y = x é dada por:

[latex]\\\mathrm{d_{C,t}=\frac{|1\times 9-1\times 5|}{\sqrt{(1)^2+(-1)^2}}\to d_{C,t}=2\sqrt{2}}[/latex]

por gabeieiel Dom 26 Mar 2023, 09:25

Giovana Martins escreveu:
Penso que seja isto.

Seja R o raio da circunferência cujo centro é dado por C(a,b).

Seja a reta t: y = mx + n. Do enunciado O(0,0), P(1,1) ∈ t. Deste modo, tem-se t: y = x.

Sendo y = x, tem-se que m = 1.

Pelo enunciado (R, a, b, m) = (R, a, b, 1) formam uma P. A. tal que R + a + b + 1 = 28, isto é, R + a + b = 27.

Para uma P. A. de quatro termos vale a igualdade (R, a, b, m) = (x, x + r, x + 2r, x + 3r).

Então: R + a + b = x + x + r + x + 2r = 3(x + r) = 3a = 27, ou seja, a = 9.

Se a = 9, tem-se que R + b = 18 e nossa sequência passa a ser (R, a, b, m) = (R, 9, b, 1).

Como estamos lidando com uma P. A., é válida a igualdade: 2b = 9 + 1, logo, b = 5.

Sendo (R, a, b, m) = (R, 9, 5, 1), é fácil concluir que R = 13.

Então temos (x - 9)² + (y - 5)² = 169, isto é, C(9,5) e R = 13, além de t: y = x.

A distância de C(9,5) até t: y = x é dada por:

[latex]\\\mathrm{d_{C,t}=\frac{|1\times 9-1\times 5|}{\sqrt{(1)^2+(-1)^2}}\to d_{C,t}=2\sqrt{2}}[/latex]

Obrigado pela resposta! Faz sentido, porém, ainda não entendi algumas coisas na sua explicação. Primeiramente, na equação da reta t, eu poderia fazer a seguinte transformação:

[latex]y = x \Rightarrow -x + y = 0 \Rightarrow m = -1[/latex]

Isso estaria correto? A mudança no valor de m faria um resultado correto?

Em segundo lugar, não entendi por que o fato de ser uma P.A. permite a igualdade 2b = 9 + 1. Poderia explicar melhor essa parte?

por **Giovana Martins** Dom 26 Mar 2023, 10:17

Primeira dúvida:

Não poderia. O que você imaginou ao dizer que - x + y = 0 implica m = - 1 contraria a definição de coeficiente angular.

Por definição, m = ∆y/∆x. Sendo O(0,0) e P(1,1). Daqui só podemos concluir que m = 1, pois:

m = (1 - 0)/(1 - 0) = 1 ou m = (0 - 1)/(0 - 1) = 1.

Um outro modo de descobrir o coeficiente angular da reta é colocando-a na forma y = ax + b, motivo pelo qual eu escrevi y = x ao invés de - x + y = 0 justamente para evitar essa confusão. Quando temos y = ax + b, o coeficiente angular da reta é dado por m = a.

Segunda dúvida:

Seja a P. A. = (a, b, c, d, e, f, g, ..., x, y, z).

Sem muito rigor técnico, tomados três termos seguidos, o termo do meio equivale a soma de seus termos imediatamente adjacentes dividido por 2.

Por exemplo: 2b = a + c, 2c = b + d, 2e = d + f e assim por diante.

A título de curiosidade, se tivéssemos uma P. G. = (a, b, c, d, e, f, g, ..., x, y, z), teríamos a seguinte propriedade:

b² = ac, d² = ce, y² = xz e assim por diante.