(Fgv-Sp) solução da equação

A solução da equação tg x = sen 2x é

a) S = {x = (π/2) + kπ | k é inteiro}
b) S = {x = (kπ/2) | k é inteiro} U {x = ( π/8 ) + (kπ/4) | k é inteiro}
c) S = {x = kπ | k é inteiro}
d) S = {x = [(2k +1)π]/4 | k é inteiro} U {x = kπ | k é inteiro}

gabarito: alternativa d

tg(x) = sen(2x) , para x ≠ (2k+1)π/2

sen(x)/cos(x) = 2.sen(x).cos(x) , para x ≠ (2k+1)π/2

Para dividirmos por sen(x), precisamos ver se a solução sen(x) = 0 É SOLUÇÃO !

tg(0°) = sen(0°) = tg(π) = sen(2π) =...

E satisfaz, logo:

x = k.π é solução.

AGORA DIVIDIMOS POR SEN(X):

cos²(x) = 1/2

cos(x) = ±√2/2

x = ±π/4 + 2kπ

x = (2k+1)π/4

Logo:

S = {x = (2k +1)π/4 | k ∈ℤ} U {x = kπ | k ∈ℤ} --> (D)

Podemos escrever essa equação da seguinte forma:
senx/cosx=2.senx.cosx, com cosx≠0, como temos senx nos dois lados, claramente temos que senx=0 é uma solução, uma vez que 0=0, assim fazendo senx=0 --> senx=sen(0+k.π) --> x=kπ, k inteiro, admitindo agora senx≠0, cancelando senx dos numeradores, obtemos: cos²x=1/2 -->
cosx=+/- V2/2 --> cosx=(π/4 + 2kπ) e cosx=(3π/4+2kπ) fazendo a união é só verificar que o ciclo ficou dividido em 4 partes iguais com primeira determinação positiva π/4 e razão π/2, ou seja, os valores dos arcos vão sendo 1.π/4, 3.π/4, 5.π/4, 7.π/4, ..., isto é, (2k+1)π/4, fazendo por último a união dessa solução com a primeira encontramos:
S = {x = [(2k +1)π]/4 | k é inteiro} U {x = kπ | k é inteiro} //

Obrigado, rihan e Adeilson