Mostrar por indução matemática relação de unicidade

1. Considerando a sequência [latex]{{\phi _n(x)}} [/latex], definida pelas equações 
[latex]{\phi_0(x)}=0[/latex] e [latex]\phi _{n+1})(x)= \int_{0}^{x}f[t, \phi_n(t)] dt [/latex]converge, mostre por indução matemática que:

[latex]\left | \phi _n(x) -\phi_{(n-1)} \right |\leqslant \frac{MK^{n-1}\left | x^{n}\right|}{n!}\leq \frac{MK^{n-1}h^{n}}{n!}[/latex]

Zeis escreveu:1. Considerando a sequência [latex]{{\phi _n(x)}} [/latex], definida pelas equações 
[latex]{\phi_0(x)}=0[/latex] e [latex]\phi _{n+1})(x)= \int_{0}^{x}f[t, \phi_n(t)] dt [/latex]converge, mostre por indução matemática que:

[latex]\left | \phi _n(x) -\phi_{(n-1)} \right |\leqslant \frac{MK^{n-1}\left | x^{n}\right|}{n!}\leq \frac{MK^{n-1}h^{n}}{n!}[/latex]

Você poderia esclarecer o que é f exatamente? Imaginei que fosse uma função de duas variáveis mas o resultado é falso sem mais hipoteses. Alem disso, as contantes K,M,h também não estão claras

Decorre de y'=(x,y)  y(0) =0. Reescrita naquela integral, f é uma função contínua apenas de x. h é o menor dos valores de a. M: máximo valor, o coeficiente angular. K: constante de valor máximo da derivada parcial de f sobre a parcial de y. Do teorema de existência e unicidade: se f e derivadas parciais de rondof/d rondo y, são contínuas num retângulo R: |x|<=a, |y|<=b, então em algum intervalo |x|<=h<=a existe uma solução única y= fi (x) na condição y'=(x,y)  y(0) =0.

Então f é uma função continua num compacto com derivada parcial em relação a segunda variavel. M é o máximo de |f| e K é maximo da derivada parcial, certo?


Nesse caso, pra x não negativo:

\( \displaystyle | \phi_1(x) - \phi_0(x)| = \left| \int_0^x f(t, 0)\, dt \right| \leq \int_0^x |f(t,0)|\, dt \leq \int_0^x M \, dt = Mx\)

Isso prova o caso n= 0. Supondo válido pra n = r, para n = r+1 teremos:

\( \displaystyle | \phi_{r+1}(x) - \phi_r(x)| = \left| \int_0^x f(t, \phi_r(t)) - f(t,\phi_{r-1}(t))\, dt \right| \leq \int_0^x |f(t, \phi_r(t)) - f(t,\phi_{r-1}(t))|\, dt\)

Pelo teorema do valor médio e pela hipotese de indução
\( \displaystyle |f(t, \phi_r(t)) - f(t,\phi_{r-1}(t))| \leq K |\phi_r(t) - \phi_{r-1}(t)| \leq K\cdot  \dfrac{M K^{r-1}t^r}{r!}\)

Logo
\( \displaystyle | \phi_{r+1}(x) - \phi_r(x)| \leq \int_0^x \dfrac{MK^{r}t^r}{r!} \, dt = \dfrac{MK^{r}x^{r+1}}{(r+1)!}\)

Portanto pra x qualquer no compacto segue que

\( \displaystyle \boxed{| \phi_{r+1}(x) - \phi_r(x)| \leq \dfrac{MK^{r}|x|^{r+1}}{(r+1)!} }\)