cinemática

Dois trens partem simultaneamente de dois pontos, A e B, distantes 5000 metros um do outro. Os trens possuem velocidades constantes de 20m/s e de sentidos contrários, sendo que o trem I dirige-se para B. Sabendo que os trens possuem comprimento de 100 metros, determine quanto tempo um automóvel deve esperar em A, após o início do movimento dos trens, para que, deslocando-se a 40m/s, demore 50s entre iniciar a ultrapassagem sobre o trem I e terminar a ultrapassagem sobre o trem II.

resposta: 30s

Equação horária do movimento do automóvel:
\[
S(t) = 40 ( t - t_0 )
\]
sendo \( t_0 \) o tempo que ele deve esperar em A. O sinal de menos que acompanha \(t_0\) advém de uma translação horizontal que aplicamos sobre o movimento do automóvel para a direita. Seu atraso, do ponto de vista gráfico, é o mesmo que deslocar seu gráfico de movimento para a direita em \(t_0\) unidades. A partir de \(t_0\) é que ele inicia o movimento, até lá, o gráfico toca o eixo \(t\) (abscissas).

Equações horárias da parte traseira do trem I e da parte traseira do trem II:
\[
S_1(t) = -100 + 20 t,  \qquad  S_2(t) = 5100 - 20t
\]
O instante de encontro entre o automóvel e a parte traseira de I é:
\[
-100 + 20 t_1 = 40 (t_1 - t_0 ) \Leftrightarrow t_1 = 2t_0 - 5
\]
O instante de encontro entre o automóvel e a parte traseira de II é:
\[
40 ( t_2 - t_0 ) = 5100 - 20 t_2 \Leftrightarrow t_2 = 85 + \frac{2t_0}{3}
\]
Assim,
\[
\begin{align*}
50 & = t_2 - t_1  \\
& = 85 + \frac{2}{3} \cdot t_0 - 2t_0 + 5 \\
& = 90 - \frac{4}{3} \cdot t_ 0 \\
10 & = \frac{t_0}{3} \\
30 & = t_0
\end{align*}
\]