Trigonometria

por mhope Sex 20 Jan 2023, 09:07

Prove que, se 0 < x < π/2, então sex + cosx >1
*Não tenho o gabarito

Como provaria isso?
Pensei em:

Elevei ao quadrado porque sei que ambos os membros da inequação são positivos: senx + cosx > 0 porque x pertence ao primeiro quadrante e 1>0
(sex + cosx)² > 1²
senx² + cox² + 2senxcosx > 1
1 + sen2x > 1
sen2x > 0 ⇒ 2x > 0 + kπ ⇒ x > kπ/2 ???

por catwopir Sex 20 Jan 2023, 09:29

Aoba!

um jeito criativo de demonstrar a desigualdade é pensar num triangulo retângulo de hip 1, e x como um dos seus ângulos.

o lado oposto ao x vale-> senx
o lado adjacente vale -> cosx
pela desigualdade triangular, temos:
senx+cosx>1, pois a soma dos lados sempre será maior que o outro.

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