Circunferência
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Circunferência
por taynaravidi Sáb 03 Set 2022, 17:59
A questão pede o seguinte:
Sabendo que a reta r : x + y − 3 = 0 é secante à circunferência de centro C = (−2, 1) e raio [latex]\sqrt{10}[/latex] nos pontos A e B, calcule a área do triângulo ABC.
O que eu fiz foi o sistema que identificaria os ponto A e B:
[latex]\left\{\begin{matrix} (x+2)^2+(y-1)^2=10 & \\ x+y=3 & \end{matrix}\right.[/latex]
A=(1,2)
B=(-1,4)
Depois disso eu calculei a distancia entre A e B (base do triângulo)
d(A,B)=(1+1)²+(2-4)²= 8
E depois o ponto médio entre A e B.
Pm(A,B)= [latex]\frac{(1-1)}{2},\frac{(2+4)}{2}[/latex]
E, por fim, a distância entre o centro da circunferência e o ponto Pm (altura do triângulo)
d(C,Pm)= (-2-0)²+(1-3)²= 8
Sendo assim, a área do triangulo dá 32. Mas o gabarito diz que a resposta é 4. Não consigo encontrar meu erro.
Sabendo que a reta r : x + y − 3 = 0 é secante à circunferência de centro C = (−2, 1) e raio [latex]\sqrt{10}[/latex] nos pontos A e B, calcule a área do triângulo ABC.
O que eu fiz foi o sistema que identificaria os ponto A e B:
[latex]\left\{\begin{matrix} (x+2)^2+(y-1)^2=10 & \\ x+y=3 & \end{matrix}\right.[/latex]
A=(1,2)
B=(-1,4)
Depois disso eu calculei a distancia entre A e B (base do triângulo)
d(A,B)=(1+1)²+(2-4)²= 8
E depois o ponto médio entre A e B.
Pm(A,B)= [latex]\frac{(1-1)}{2},\frac{(2+4)}{2}[/latex]
E, por fim, a distância entre o centro da circunferência e o ponto Pm (altura do triângulo)
d(C,Pm)= (-2-0)²+(1-3)²= 8
Sendo assim, a área do triangulo dá 32. Mas o gabarito diz que a resposta é 4. Não consigo encontrar meu erro.
Última edição por taynaravidi em Sáb 03 Set 2022, 18:21, editado 1 vez(es)
taynaravidi- Iniciante
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Re: Circunferência
por AspJonJon Sáb 03 Set 2022, 18:10
Boa noite, Taynara! Excelente raciocínio e vc está correta. Porém esqueceu de tirar a raiz nas distâncias AB e CPm.
Assim, d (A,B) = √8 e d (C,Pm) = √8.
Portanto, a área do triângulo fica 4 mesmo!
)
Assim, d (A,B) = √8 e d (C,Pm) = √8.
Portanto, a área do triângulo fica 4 mesmo!
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AspJonJon- Iniciante
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Re: Circunferência
por tales amaral Sáb 03 Set 2022, 18:12
O correto é d(A,B)^2=(1+1)²+(2-4)²= 8 ⇔ D(A,B) = 2√2 e d(C,Pm)^2= (-2-0)²+(1-3)²= 8 ⇔ D(C, Pm) = 2√2. Daí a área do triângulo é Base vezes altura dividido por 2 = 4.
Também da pra fazer usando o "determinante":
[latex] A = \dfrac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix}
1 & -1 & -2 \\
2 & 4 & 1
\end{vmatrix} = \dfrac{4-1-4-(-2-8+1)}{2} =4 [/latex]
Também da pra fazer usando o "determinante":
[latex] A = \dfrac{1}{2} \cdot \begin{vmatrix}
1 & -1 & -2 \\
2 & 4 & 1
\end{vmatrix} = \dfrac{4-1-4-(-2-8+1)}{2} =4 [/latex]
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